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Sei $X$ die Anzahl der Erfolge in einer Bernoulli-Kette der Länge n. Die Erfolgswahrscheinlichkeit $\bf p$ ist unbekannt und soll anhand des Ergebnisses $\bf X=k$ eines Versuchs (Stichprobe) mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit $\bf \gamma$ geschätzt werden. Wir bilden dazu die Vereinigung aller Wahrscheinlichkeiten $\bf p_i$ die nicht mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit $\bf \gamma$ bei einem zweiseitigen Signifikanztest verworfen werden können. D.h. wir wählen nur solche Wahrscheinlichkeiten aus, die gut zum Stichprobenergebnis passen.

Bestimmen des Konfindenzintervalls für $p$

Für hinreichend großes n ergibt sich die folgende Ungleichung:

$\large \gamma \leq P(|k -\mu| \leq c \cdot \sigma) \approx \Phi( c ) - \Phi (- c )= 2\Phi( c ) - 1 $

$\Large \Rightarrow c \geq  \Phi^{- \, 1}\left( \frac{1 + \gamma}{2}\right)$

Setzt man $\mu = np \;  ; \; \sigma = \sqrt{np(1-p)} \; ; \; h_n= \frac{k}{n}$ ergibt sich:

$\Large | h_n - p | \leq c \cdot \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\;\;\; (*)$

Die Lösungsmenge der Ungleichung $(*)$ ist das Konfidenzintervall, das mit der Wahrscheinlichkeit $\bf \gamma$ den wahren Wert von $\bf p$ überdeckt.

Nährungslösung

Ist $n$ sehr groß oder $0,3 \leq  p \leq 0,7$ kann man in $(*)$ unter der Wurzel $p$ durch $h_n$ ersetzen und erhält als Konfidenzintervall für $p$:

$\Large \left[ h_n - c \cdot \sqrt{\frac{h_n(1-h_n)}{n}} \; ; \; h_n + c \cdot \sqrt{\frac{h_n(1-h_n)}{n}} \right] $

Länge des Konfidenzintervalls

Die Länge L des Konfidenzintervalls ist ein Maß für die Ungenauigkeit der Schätzung.

$\Large L = 2 \cdot c \cdot \sqrt{\frac{h_n(1-h_n)}{n}}$

Sie kann durch die Wahl der Sicherheitswahrscheinlichkeit, von der c abhängt, und durch den Stichprobenumfang n beeinflusst werden.

Multiple-Choice
Durch eine Umfrage soll der Bekanntheitsgrad eines neuen Fernsehsenders ermittelt werden. Es wurden 500 Personen befragt, von denen 170 den neuen Sender kannten. Bestimmen Sie, mit Hilfe der Nährungslösung, das Vertrauensintervall für den Bekanntheitsgrad zum Sicherheitsniveau von 95 %.
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Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Stochastik

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

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  • Beschreibende Statistik
    • Einführung
    • Klassen
    • Mittelwert, Median und Modus
    • Varianz und Standardabweichung
    • Darstellung von statistischen Daten
  • Wahrscheinlichkeit
    • Zufallsexperiment
    • Wahrscheinlichkeitsraum
    • Laplace-Experiment
    • Kombinatorik
  • Bedingte Wahrscheinlichkeit
    • Definition und Beispiele
    • Satz von Bayes
    • Unabhängigkeit
  • Zufallsgrößen
    • Definition Zufallsgröße
    • Wahrscheinlichkeits- und Dichtefunktion
    • Verteilungsfunktion
    • Erwartungswert einer Zufallsgröße
    • Varianz einer Zufallsgröße
  • Binomialverteilung
    • Bernoulli-Kette
    • Formel von Bernoulli
    • Erwartungswert und Varianz
    • Sigma-Regeln
  • Normalverteilung
    • Dichtefunktion der Normalverteilung
    • Verteilungsfunktion der Normalverteilung
    • Näherung für die Binomialverteilung
    • Zentraler Grenzwertsatz
  • Beurteilende Statistik
    • Einführung beurteilende Statistik
    • Signifikanztest
    • Gütefunktion und Operationscharakteristik
    • Konfidenzintervalle
  • 29
  • 13
  • 106
  • 15

Unsere Nutzer sagen:

  • Gute Bewertung für Stochastik

    Ein Kursnutzer am 19.01.2017:
    "Gut erklärt "