abiweb
online lernen

Die perfekte Abiturvorbereitung
in Mathematik

Im Kurspaket Mathematik erwarten Dich:
  • 195 Lernvideos
  • 414 Lerntexte
  • 598 interaktive Übungen
  • original Abituraufgaben
gratis testen

Sei $X$ die Anzahl der Erfolge in einer Bernoulli-Kette der Länge n. Die Erfolgswahrscheinlichkeit $\bf p$ ist unbekannt und soll anhand des Ergebnisses $\bf X=k$ eines Versuchs (Stichprobe) mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit $\bf \gamma$ geschätzt werden. Wir bilden dazu die Vereinigung aller Wahrscheinlichkeiten $\bf p_i$ die nicht mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit $\bf \gamma$ bei einem zweiseitigen Signifikanztest verworfen werden können. D.h. wir wählen nur solche Wahrscheinlichkeiten aus, die gut zum Stichprobenergebnis passen.

Bestimmen des Konfindenzintervalls für $p$

Für hinreichend großes n ergibt sich die folgende Ungleichung:

$\large \gamma \leq P(|k -\mu| \leq c \cdot \sigma) \approx \Phi( c ) - \Phi (- c )= 2\Phi( c ) - 1 $

$\Large \Rightarrow c \geq  \Phi^{- \, 1}\left( \frac{1 + \gamma}{2}\right)$

Setzt man $\mu = np \;  ; \; \sigma = \sqrt{np(1-p)} \; ; \; h_n= \frac{k}{n}$ ergibt sich:

$\Large | h_n - p | \leq c \cdot \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\;\;\; (*)$

Die Lösungsmenge der Ungleichung $(*)$ ist das Konfidenzintervall, das mit der Wahrscheinlichkeit $\bf \gamma$ den wahren Wert von $\bf p$ überdeckt.

Nährungslösung

Ist $n$ sehr groß oder $0,3 \leq  p \leq 0,7$ kann man in $(*)$ unter der Wurzel $p$ durch $h_n$ ersetzen und erhält als Konfidenzintervall für $p$:

$\Large \left[ h_n - c \cdot \sqrt{\frac{h_n(1-h_n)}{n}} \; ; \; h_n + c \cdot \sqrt{\frac{h_n(1-h_n)}{n}} \right] $

Länge des Konfidenzintervalls

Die Länge L des Konfidenzintervalls ist ein Maß für die Ungenauigkeit der Schätzung.

$\Large L = 2 \cdot c \cdot \sqrt{\frac{h_n(1-h_n)}{n}}$

Sie kann durch die Wahl der Sicherheitswahrscheinlichkeit, von der c abhängt, und durch den Stichprobenumfang n beeinflusst werden.

Multiple-Choice
Wie groß muss eine Stichprobe mindestens sein, wenn das Vertrauensintervall für p bei einem Sicherheitsniveau von 99 % nicht länger als $L_{max} = 0,1$ sein soll. Verwenden Sie die Nährungslösung.
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Vorstellung des Online-Kurses StochastikStochastik
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Stochastik

abiweb - Abitur-Vorbereitung online (abiweb.de)
Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Beschreibende Statistik
    • Einführung
    • Klassen
    • Mittelwert, Median und Modus
    • Varianz und Standardabweichung
    • Darstellung von statistischen Daten
  • Wahrscheinlichkeit
    • Zufallsexperiment
    • Wahrscheinlichkeitsraum
    • Laplace-Experiment
    • Kombinatorik
  • Bedingte Wahrscheinlichkeit
    • Definition und Beispiele
    • Satz von Bayes
    • Unabhängigkeit
  • Zufallsgrößen
    • Definition Zufallsgröße
    • Wahrscheinlichkeits- und Dichtefunktion
    • Verteilungsfunktion
    • Erwartungswert einer Zufallsgröße
    • Varianz einer Zufallsgröße
  • Binomialverteilung
    • Bernoulli-Kette
    • Formel von Bernoulli
    • Erwartungswert und Varianz
    • Sigma-Regeln
  • Normalverteilung
    • Dichtefunktion der Normalverteilung
    • Verteilungsfunktion der Normalverteilung
    • Näherung für die Binomialverteilung
    • Zentraler Grenzwertsatz
  • Beurteilende Statistik
    • Einführung beurteilende Statistik
    • Signifikanztest
    • Gütefunktion und Operationscharakteristik
    • Konfidenzintervalle
  • 29
  • 13
  • 107
  • 15

Unsere Nutzer sagen:

  • Miriam

    Miriam

    "Ich finde abiweb.de sehr hilfreich und die Themen sehr gut erklärt!! Vielen Dank!!"
  • Jens

    Jens

    "Endlich habe ich es verstanden :) Ich schreibe morgen meine Klausur und denke, dass ich es nun kann :)"
  • Michaela

    Michaela

    "Vielen Dank:) Wäre schön wenn sich meine Lehrerin so viel Zeit für alles nehmen könnte."

NEU! Sichere dir jetzt die perfekte Prüfungsvorbereitung und spare 20% bei deiner Kursbuchung!

20% Coupon: abitur20

Zu den Online-Kursen