Konfidenzintervalle

Sei $X$ die Anzahl der Erfolge in einer Bernoulli-Kette der Länge n. Die Erfolgswahrscheinlichkeit $\bf p$ ist unbekannt und soll anhand des Ergebnisses $\bf X=k$ eines Versuchs (Stichprobe) mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit $\bf \gamma$ geschätzt werden. Wir bilden dazu die Vereinigung aller Wahrscheinlichkeiten $\bf p_i$ die nicht mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit $\bf \gamma$ bei einem zweiseitigen Signifikanztest verworfen werden können. D.h. wir wählen nur solche Wahrscheinlichkeiten aus, die gut zum Stichprobenergebnis passen.

Bestimmen des Konfindenzintervalls für $p$

Für hinreichend großes n ergibt sich die folgende Ungleichung:

$\large \gamma \leq P(|k -\mu| \leq c \cdot \sigma) \approx \Phi( c ) - \Phi (- c )= 2\Phi( c ) - 1 $

$\Large \Rightarrow c \geq  \Phi^{- \, 1}\left( \frac{1 + \gamma}{2}\right)$

Setzt man $\mu = np \;  ; \; \sigma = \sqrt{np(1-p)} \; ; \; h_n= \frac{k}{n}$ ergibt sich:

$\Large | h_n - p | \leq c \cdot \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\;\;\; (*)$

Die Lösungsmenge der Ungleichung $(*)$ ist das Konfidenzintervall, das mit der Wahrscheinlichkeit $\bf \gamma$ den wahren Wert von $\bf p$ überdeckt.

Nährungslösung

Ist $n$ sehr groß oder $0,3 \leq  p \leq 0,7$ kann man in $(*)$ unter der Wurzel $p$ durch $h_n$ ersetzen und erhält als Konfidenzintervall für $p$:

$\Large \left[ h_n - c \cdot \sqrt{\frac{h_n(1-h_n)}{n}} \; ; \; h_n + c \cdot \sqrt{\frac{h_n(1-h_n)}{n}} \right] $

Länge des Konfidenzintervalls

Die Länge L des Konfidenzintervalls ist ein Maß für die Ungenauigkeit der Schätzung.

$\Large L = 2 \cdot c \cdot \sqrt{\frac{h_n(1-h_n)}{n}}$

Sie kann durch die Wahl der Sicherheitswahrscheinlichkeit, von der c abhängt, und durch den Stichprobenumfang n beeinflusst werden.