Formel von Bernoulli

Frage:  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei einer Bernoulli-Kette der Länge n genau k Erfolge zu erzielen ?

Baumdiagramm Bernoulli-Kette der Länge 3

Betrachtet man das zugehörige Baumdiagramm stellt man fest, dass man dazu die Wahrscheinlichkeiten aller Pfade aufsummieren muss, die k Kanten mit der Wahrscheinlichkeit p und $ n-k$ Kanten mit der Wahrscheinlichkeit $1-p$ aufweisen.

Jeder diese Pfade besitzt die Wahrscheinlichkeit

$\large p^k \cdot (1-p)^{n-k}$ ( 1. Pfadregel )

Es bleibt noch herauszufinden, wie viele solche Pfade es in dem Baumdiagramm gibt.

Binomialkoeffizient

Die Anzahl dieser Pfade kann man mit dem Binomialkoeffizienten $ \large {n \choose k} $ bestimmen. Dieser gibt nämlich an, auf wie viele Arten man die k Erfolge auf die n Stufen der Bernoulli-Kette verteilen kann.

Bernoulli-Formel

Es ergibt sich insgesamt: Ist $X$ die Anzahl der Erfolge bei einer Bernoulli-Kette der Länge n und Erfolgswahrscheinlichkeit p, dann ist

$\large \bf b_{n ; p}( k ) = P( X = k ) = { n \choose k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$ (Bernoulli-Formel)

die Wahrscheinlichkeit genau k Erfolge zu erzielen und

$\large \bf B_{n ; p}( k ) = P( X \leq k ) = \sum_{i = 0}^k{ n \choose i} \cdot p^i \cdot (1-p)^{n-i}$

die Wahrscheinlichkeit höchstens k Erfolge zu erzielen.

Binomialverteilte Zufallsgröße

Eine Zufallsgröße $X$ , die die Werte  $0,1,2, \dots , n$ mit den Wahrscheinlichkeiten $P ( X = k ) = b_{n ; p }(k)$ annimmt heißt binomialverteilt.