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Frage:  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei einer Bernoulli-Kette der Länge n genau k Erfolge zu erzielen ?

Video: Formel von Bernoulli

In diesem Abschnitt wird die Formel von Bernoulli hergeleitet. Einige Videos zeigen wie man sie bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei binomialverteilten Zufallsgrößen benutzen kann.
Baumdiagramm einer Bernoulli-Kette der Länge 3
Baumdiagramm Bernoulli-Kette der Länge 3

Betrachtet man das zugehörige Baumdiagramm stellt man fest, dass man dazu die Wahrscheinlichkeiten aller Pfade aufsummieren muss, die k Kanten mit der Wahrscheinlichkeit p und $ n-k$ Kanten mit der Wahrscheinlichkeit $1-p$ aufweisen.

Jeder diese Pfade besitzt die Wahrscheinlichkeit

$\large p^k \cdot (1-p)^{n-k}$ ( 1. Pfadregel )

Es bleibt noch herauszufinden, wie viele solche Pfade es in dem Baumdiagramm gibt.

Binomialkoeffizient

Die Anzahl dieser Pfade kann man mit dem Binomialkoeffizienten $ \large {n \choose k} $ bestimmen. Dieser gibt nämlich an, auf wie viele Arten man die k Erfolge auf die n Stufen der Bernoulli-Kette verteilen kann.

Bernoulli-Formel

Es ergibt sich insgesamt: Ist $X$ die Anzahl der Erfolge bei einer Bernoulli-Kette der Länge n und Erfolgswahrscheinlichkeit p, dann ist

$\large \bf b_{n ; p}( k ) = P( X = k ) = { n \choose k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$ (Bernoulli-Formel)

die Wahrscheinlichkeit genau k Erfolge zu erzielen und

$\large \bf B_{n ; p}( k ) = P( X \leq k ) = \sum_{i = 0}^k{ n \choose i} \cdot p^i \cdot (1-p)^{n-i}$

die Wahrscheinlichkeit höchstens k Erfolge zu erzielen.

Video: Formel von Bernoulli

In diesem Abschnitt wird die Formel von Bernoulli hergeleitet. Einige Videos zeigen wie man sie bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei binomialverteilten Zufallsgrößen benutzen kann.

Binomialverteilte Zufallsgröße

Eine Zufallsgröße $X$ , die die Werte  $0,1,2, \dots , n$ mit den Wahrscheinlichkeiten $P ( X = k ) = b_{n ; p }(k)$ annimmt heißt binomialverteilt.

Video: Formel von Bernoulli

In diesem Abschnitt wird die Formel von Bernoulli hergeleitet. Einige Videos zeigen wie man sie bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei binomialverteilten Zufallsgrößen benutzen kann.
Multiple-Choice
$\large X \sim b_{50;0,2}$ verteilt.
$A$ = { mehr als 6 Erfolge und höchstens 11 Erfolge }
Welche der folgenden Gleichungen sind richtig ?
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

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    • Laplace-Experiment
    • Kombinatorik
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    • Definition und Beispiele
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  • Zufallsgrößen
    • Definition Zufallsgröße
    • Wahrscheinlichkeits- und Dichtefunktion
    • Verteilungsfunktion
    • Erwartungswert einer Zufallsgröße
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  • Binomialverteilung
    • Bernoulli-Kette
    • Formel von Bernoulli
    • Erwartungswert und Varianz
    • Sigma-Regeln
  • Normalverteilung
    • Dichtefunktion der Normalverteilung
    • Verteilungsfunktion der Normalverteilung
    • Näherung für die Binomialverteilung
    • Zentraler Grenzwertsatz
  • Beurteilende Statistik
    • Einführung beurteilende Statistik
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    • Konfidenzintervalle
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