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Frage:  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei einer Bernoulli-Kette der Länge n genau k Erfolge zu erzielen ?

Video: Formel von Bernoulli

Betrachtet man das zugehörige Baumdiagramm stellt man fest, dass man dazu die Wahrscheinlichkeiten aller Pfade aufsummieren muss, die k Kanten mit der Wahrscheinlichkeit p und $ n-k$ Kanten mit der Wahrscheinlichkeit $1-p$ aufweisen.

Jeder diese Pfade besitzt die Wahrscheinlichkeit

$\large p^k \cdot (1-p)^{n-k}$ ( 1. Pfadregel )

Es bleibt noch herauszufinden, wie viele solche Pfade es in dem Baumdiagramm gibt.

Binomialkoeffizient

Die Anzahl dieser Pfade kann man mit dem Binomialkoeffizienten $ \large {n \choose k} $ bestimmen. Dieser gibt nämlich an, auf wie viele Arten man die k Erfolge auf die n Stufen der Bernoulli-Kette verteilen kann.

Bernoulli-Formel

Es ergibt sich insgesamt: Ist $X$ die Anzahl der Erfolge bei einer Bernoulli-Kette der Länge n und Erfolgswahrscheinlichkeit p, dann ist

$\large \bf b_{n ; p}( k ) = P( X = k ) = { n \choose k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$ (Bernoulli-Formel)

die Wahrscheinlichkeit genau k Erfolge zu erzielen und

$\large \bf B_{n ; p}( k ) = P( X \leq k ) = \sum_{i = 0}^k{ n \choose i} \cdot p^i \cdot (1-p)^{n-i}$

die Wahrscheinlichkeit höchstens k Erfolge zu erzielen.

Video: Formel von Bernoulli

Binomialverteilte Zufallsgröße

Eine Zufallsgröße $X$ , die die Werte  $0,1,2, \dots , n$ mit den Wahrscheinlichkeiten $P ( X = k ) = b_{n ; p }(k)$ annimmt heißt binomialverteilt.

Video: Formel von Bernoulli

Multiple-Choice
X ist eine binomialverteilte Zufallsgröße mit n = 20 und p = 0,3. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für genau 4 Erfolge.
0/0
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Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Stochastik

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Beschreibende Statistik
    • Einführung
    • Klassen
    • Mittelwert, Median und Modus
    • Varianz und Standardabweichung
    • Darstellung von statistischen Daten
  • Wahrscheinlichkeit
    • Zufallsexperiment
    • Wahrscheinlichkeitsraum
    • Laplace-Experiment
    • Kombinatorik
  • Bedingte Wahrscheinlichkeit
    • Definition und Beispiele
    • Satz von Bayes
    • Unabhängigkeit
  • Zufallsgrößen
    • Definition Zufallsgröße
    • Wahrscheinlichkeits- und Dichtefunktion
    • Verteilungsfunktion
    • Erwartungswert einer Zufallsgröße
    • Varianz einer Zufallsgröße
  • Binomialverteilung
    • Bernoulli-Kette
    • Formel von Bernoulli
    • Erwartungswert und Varianz
    • Sigma-Regeln
  • Normalverteilung
    • Dichtefunktion der Normalverteilung
    • Verteilungsfunktion der Normalverteilung
    • Näherung für die Binomialverteilung
    • Zentraler Grenzwertsatz
  • Beurteilende Statistik
    • Einführung beurteilende Statistik
    • Signifikanztest
    • Gütefunktion und Operationscharakteristik
    • Konfidenzintervalle
  • 29
  • 13
  • 106
  • 15

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  • Gute Bewertung für Stochastik

    Ein Kursnutzer am 19.01.2017:
    "Gut erklärt "