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Treten in einer Stichprobe Werte auf, die deutlich (signifikant) vom Erwartungswert der Nullhypothese abweichen, dann spricht das gegen die Nullhypothese. Große Abweichungen treten nämlich nur mit einer kleinen Wahrscheinlichkeit auf. Man ist deshalb eher geneigt die Nullhypothese anzuzweifeln, als zu glauben, dass die Stichprobe nur zufällig so stark abweicht.

Bei einem Signifikanztest gibt man sich deshalb ein kleines Signifikanzniveau $\bf \alpha$ vor, um die Wahrscheinlichkeit für eine rein zufällige Abweichung klein zu halten.

Einseitiger Signifikanztest

Sprechen nur besonders große oder nur besonders kleine Werte gegen die Nullhypothese, so wird der Ablehnungsbereich $\overline{A}$ auch nur auf einer Seite des Annahmebereichs $A$ gewählt und zwar so, dass gilt:

$\large P(\overline{A}) = P( X \leq k)  \leq \alpha $ (linksseitiger Test)  bzw.

$\large P(\overline{A}) = P( X \geq k)  \leq \alpha $ (rechtsseitiger Test)

dabei ist $\bf k$ der kritische Wert die größte bzw. kleinste Zahl, für die die Ungleichung gerade noch erfüllt ist.

Zweiseitiger Signifikanztest

Sprechen sowohl besonders kleine als auch besonders große Werte gegen die Nullhypothese wird die Irrtumswahrscheinlichkeit gleichmäßig auf die zwei Teile des Ablehnungsbereichs $\overline{A} = P( X \leq k_L) \cup P( X \geq k_R) $ verteilt s.d. gilt:

$\large P( X \leq k_L)  \leq \frac{\alpha}{2} $ und $\large P( X \geq k_R)  \leq \frac{\alpha}{2} $

mit $\bf k_L$ die größte Zahl und $\bf k_R$ die kleinste Zahl, die die jeweilige Ungleichung erfüllt.

Signifikantes Ergebnis

Von einem signifikanten Ergebnis (Unterschied) des Test spricht man, wenn man die Nullhypothese bei einem Signifikanzniveau von $\bf \alpha = 5 \%$ ablehnen kann. Liegt das Signifikanzniveau sogar bei  $\bf \alpha = 1 \%$ spricht man von einem hochsignifikanten Ergebnis (Unterschied).

Multiple-Choice
In einer Urne sind weiße und rote Kugeln. Der Anteil der roten Kugeln ist $\bf p$. Es werden 10 Kugeln mit Zurücklegen gezogen. $\bf X$ ist die Anzahl der gezogenen roten Kugeln. $\bf H_0: \; p \geq 0,5$. Geben Sie ein sinnvolles Testverfahren mit Ablehnungsbereich an.
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Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Vorstellung des Online-Kurses StochastikStochastik
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Stochastik

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

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  • Beschreibende Statistik
    • Einführung
    • Klassen
    • Mittelwert, Median und Modus
    • Varianz und Standardabweichung
    • Darstellung von statistischen Daten
  • Wahrscheinlichkeit
    • Zufallsexperiment
    • Wahrscheinlichkeitsraum
    • Laplace-Experiment
    • Kombinatorik
  • Bedingte Wahrscheinlichkeit
    • Definition und Beispiele
    • Satz von Bayes
    • Unabhängigkeit
  • Zufallsgrößen
    • Definition Zufallsgröße
    • Wahrscheinlichkeits- und Dichtefunktion
    • Verteilungsfunktion
    • Erwartungswert einer Zufallsgröße
    • Varianz einer Zufallsgröße
  • Binomialverteilung
    • Bernoulli-Kette
    • Formel von Bernoulli
    • Erwartungswert und Varianz
    • Sigma-Regeln
  • Normalverteilung
    • Dichtefunktion der Normalverteilung
    • Verteilungsfunktion der Normalverteilung
    • Näherung für die Binomialverteilung
    • Zentraler Grenzwertsatz
  • Beurteilende Statistik
    • Einführung beurteilende Statistik
    • Signifikanztest
    • Gütefunktion und Operationscharakteristik
    • Konfidenzintervalle
  • 29
  • 13
  • 107
  • 15

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