Quadratische Funktionen mit pq-Formel und Mitternachtsformel lösen
Der schwierigste Typ einer quadratischen Gleichung enthält einen Term ax², einen Term bx und eine Zahl c.
Die Gleichungen können so aussehen:
- $ax²=-bx-c, ax²+bx=-c$
- $0=ax²+bx+c$ (Nullstellenberechnung)
Diese Form der quadratischen Gleichung kann mit der p-q-Formel oder mit der quadratischen Ergänzung gelöst werden.
Da die pq-Formel in jeder Formelsammlung zu finden ist, wird diese auch meist für das Lösen von quadratischen Gleichungen verwendet.
Um die pq-Formel anzuwenden muss die quadratische Gleichung in der sogenannten Normalform vorliegen.
Merke
Normalform bedeutet
- links vom Gleichheitszeichen steht eine 0
- rechts vom Gleichheitszeichen 3 Terme x², px ud q
- vor dem x² darf keine Zahl stehen!
Wenn die quadratische Gleichung nicht in dieser Form vorliegt, müssen die Gleichung erst umgestellt werden.
Liegt die Gleichung in der Form vor, dann kann man die pq-Formel anwenden.
Merke
Auch bei dieser Form von quadratischen Gleichungen kann es keine, eine oder zwei Lösungen geben. Wie viele Lösungen es gibt, hängt von dem Wert unter der Wurzel, dem Radikanden ab.
In dem Video siehst Du welche Möglichkeiten es für die Anzahl der Lösungen gibt.
Interpretation des Radikanden zur Bestimmung der Nullstellen
Nachfolgend schauen wir uns an, welche Rückschlüsse man aus dem Radikanden auf die Anzahl bzw. das Vorhandensein von Nullstellen einer Funktion ziehen kann.
Ist der Radikand negativ
Ist der Radikand negativ, gibt es keine Lösungen (Nullstellen), da aus negativen Zahlen keine Wurzel gezogen werden kann.
Ist der Radikand = 0
Ist der Radikand = 0, gibt es eine Lösung (Nullstelle), da die Lösungen +0 und -0 zusammenfallen. Diese Nullstelle nennt man auch doppelte Nullstelle.
Methode
Doppelte Nullstellen sind Nullstellen, die gleichzeitig ein Maximum oder Minimum sind.
Ist der Radikand positiv
Ist der Radikand positiv, gibt es zwei Lösungen (Nullstellen) mit den oben angegebenen Lösungsformeln.
Berechnung der Nullstellen
Nachfolgend schauen wir uns die Berechnung der Nullstellen für exemplarische Funktionen an. Wir haben Funktionen
- ohne Nullstelle,
- mit einer Nullstelle und
- mit zwei Nullstellen.
Beispiel
ohne Nullstelle
0=3x²-6x+9 $\vert$:3, da diese Gleichung nicht in Normalform vorliegt0=x²-2x+3 jetzt ist die Gleichung auf Normalform
p=-2; q=3 Bestimmen von p und q (Vorzeichen nicht vergessen!)
$x_{1,2}$=-$\frac{-2}{2} \pm \sqrt {(\frac{2}{2})^2-3}$
$x_{1,2}$=+1$\pm \sqrt {1-3}$
$x_{1,2}$=+1$\pm \sqrt {-2}$ (Radikand negativ)
keine Lösung, d.h. keine Nullstelle, da aus einer negativen Zahl keine Wurzel gezogen werden kann.
Beispiel
eine Nullstelle
x²=6x-9 $\vert$ -6x+9, da diese Gleichung nicht in Normalform vorliegt0=x²-6x+9 jetzt ist die Gleichung auf Normalform
p=-6; q=9 Bestimmen von p und q (Vorzeichen nicht vergessen!)
$x_{1,2}$=-$\frac{-6}{2} \pm \sqrt {(\frac{-6}{2})^2-9}$
$x_{1,2}$=+3 $\pm \sqrt {9-9}$
$x_{1,2}$=3 $\pm \sqrt {0}$
$x_{1,2}$=3 $\pm$ 0
$x_{1,2}$=3 doppelte Nullstelle
Beispiel
zwei Nullstellen
0=(x+3)²-16 Binomische Formel lösen0=x²+6x+9-16
0=x²+6x-7 jetzt ist die Gleichung in Normalform
p=6; q=-7 Bestimmen von p und q (Vorzeichen nicht vergessen!)
$x_{1,2}$=-$\frac{6}{2} \pm \sqrt {(\frac{6}{2})^2-(-7)}$
$x_{1,2}$=-3 $\pm \sqrt {9+7}$
$x_{1,2}$=-3 $\pm \sqrt {16}$
$x_{1,2}$=-3 $\pm$ 4
$x_{1}$=-7
$x_{2}$=1
Im folgenden Video wird Dir nochmal ein Beispiel vorgerechnet mit p-q-Formel und mit der Mitternachtsformel, bei der du die quadratische Gleichung nicht auf Normalform bringen musst.
Methode
Bei Verwendung der Mitternachtsformel muss die quadratische Gleichung nicht auf Normalform gebracht werden.
Im folgenden Applet kannst Du die quadratische Funktion f(x)=ax²+bx+c und ihre Nullstellen erkunden oder auch von einer Gleichung die Nullstellen und so deine Schulaufgaben überprüfen.
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