Quadratische Funktionen mit pq-Formel und Mitternachtsformel lösen

Der schwierigste Typ einer quadratischen Gleichung enthält einen Term ax², einen Term bx und eine Zahl c.

Die Gleichungen können so aussehen:

• $ax²=-bx-c, ax²+bx=-c$
• $0=ax²+bx+c$ (Nullstellenberechnung)

Diese Form der quadratischen Gleichung kann mit der p-q-Formel oder mit der quadratischen Ergänzung gelöst werden.

Da die pq-Formel in jeder Formelsammlung zu finden ist, wird diese auch meist für das Lösen von quadratischen Gleichungen verwendet.

Um die pq-Formel anzuwenden muss die quadratische Gleichung in der sogenannten Normalform vorliegen.

Normalform bedeutet     

• links vom Gleichheitszeichen steht eine  0
• rechts vom Gleichheitszeichen  3 Terme x², px ud q
• vor dem x² darf keine Zahl stehen!

Wenn die quadratische Gleichung nicht in dieser Form vorliegt, müssen die Gleichung erst umgestellt werden.
Liegt die Gleichung in der Form vor, dann kann man die pq-Formel anwenden.

Auch bei dieser Form von quadratischen Gleichungen kann es keine, eine oder zwei Lösungen geben. Wie viele Lösungen es gibt, hängt von dem Wert unter der Wurzel, dem Radikanden ab.

In dem Video siehst Du welche Möglichkeiten es für die Anzahl der Lösungen gibt.

Interpretation des Radikanden zur Bestimmung der Nullstellen

Nachfolgend schauen wir uns an, welche Rückschlüsse man aus dem Radikanden auf die Anzahl bzw. das Vorhandensein von Nullstellen einer Funktion ziehen kann.

Ist der Radikand negativ

quadratische Funktion ohne Nullstelle

Ist der Radikand negativ, gibt es keine Lösungen (Nullstellen), da aus negativen Zahlen keine Wurzel gezogen werden kann.

Ist der Radikand = 0

quadratische Funktion mit einer Nullstelle

Ist der Radikand = 0, gibt es eine Lösung (Nullstelle), da die Lösungen +0 und -0 zusammenfallen. Diese Nullstelle nennt man auch doppelte Nullstelle.

Ist der Radikand positiv

quadratische Funktion mit zwei Nullstellen

Ist der Radikand positiv, gibt es zwei Lösungen (Nullstellen) mit den oben angegebenen Lösungsformeln.

Berechnung der Nullstellen

Nachfolgend schauen wir uns die Berechnung der Nullstellen für exemplarische Funktionen an. Wir haben Funktionen

• ohne Nullstelle,
• mit einer Nullstelle und
• mit zwei Nullstellen.

Im folgenden Video wird Dir nochmal ein Beispiel vorgerechnet mit p-q-Formel und mit der Mitternachtsformel, bei der du die quadratische Gleichung nicht auf Normalform bringen musst.

Im folgenden Applet kannst Du die quadratische Funktion f(x)=ax²+bx+c und ihre Nullstellen erkunden oder auch von einer Gleichung die Nullstellen  und so deine Schulaufgaben überprüfen.