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Quadratische Funktionen mit pq-Formel und Mitternachtsformel lösen

Gleichungen lösen
Quadratische Gleichungen lösen

Der schwierigste Typ einer quadratischen Gleichung enthält einen Term ax², einen Term bx und eine Zahl c.

Die Gleichungen können so aussehen:

  • $ax²=-bx-c, ax²+bx=-c$
  • $0=ax²+bx+c$ (Nullstellenberechnung)

Diese Form der quadratischen Gleichung kann mit der p-q-Formel oder mit der quadratischen Ergänzung gelöst werden.

Da die pq-Formel in jeder Formelsammlung zu finden ist, wird diese auch meist für das Lösen von quadratischen Gleichungen verwendet.

Um die pq-Formel anzuwenden muss die quadratische Gleichung in der sogenannten Normalform vorliegen.

Merke

Normalform einer quadratischen Gleichung: 0=x²+px+q

Normalform bedeutet     

  • links vom Gleichheitszeichen steht eine  0
  • rechts vom Gleichheitszeichen  3 Terme x², px ud q
  • vor dem x² darf keine Zahl stehen!

Wenn die quadratische Gleichung nicht in dieser Form vorliegt, müssen die Gleichung erst umgestellt werden.
Liegt die Gleichung in der Form vor, dann kann man die pq-Formel anwenden.

Merke

pq-Formel:     $x_{1,2}$=-$\frac{p}{2} \pm \sqrt {(\frac{p}{2})^2-q}$

Auch bei dieser Form von quadratischen Gleichungen kann es keine, eine oder zwei Lösungen geben. Wie viele Lösungen es gibt, hängt von dem Wert unter der Wurzel, dem Radikanden ab.

In dem Video siehst Du welche Möglichkeiten es für die Anzahl der Lösungen gibt.

Video: Quadratische Funktionen mit pq-Formel und Mitternachtsformel lösen

Hier wird gezeigt, wie man Quadratische Funktionen mit der pq-Formel und der Mitternachtsformel löst.

Interpretation des Radikanden zur Bestimmung der Nullstellen

Nachfolgend schauen wir uns an, welche Rückschlüsse man aus dem Radikanden auf die Anzahl bzw. das Vorhandensein von Nullstellen einer Funktion ziehen kann.

Ist der Radikand negativ

quadratische Funktion ohne Nullstelle
quadratische Funktion ohne Nullstelle

Ist der Radikand negativ, gibt es keine Lösungen (Nullstellen), da aus negativen Zahlen keine Wurzel gezogen werden kann.

Ist der Radikand = 0

quadratische Funktion mit einer Nullstelle
quadratische Funktion mit einer Nullstelle

Ist der Radikand = 0, gibt es eine Lösung (Nullstelle), da die Lösungen +0 und -0 zusammenfallen. Diese Nullstelle nennt man auch doppelte Nullstelle.

Methode

Doppelte Nullstellen sind Nullstellen, die gleichzeitig ein Maximum oder Minimum sind.

Ist der Radikand positiv

quadratische Funktion mit zwei Nullstellen
quadratische Funktion mit zwei Nullstellen

Ist der Radikand positiv, gibt es zwei Lösungen (Nullstellen) mit den oben angegebenen Lösungsformeln.

Berechnung der Nullstellen

Nachfolgend schauen wir uns die Berechnung der Nullstellen für exemplarische Funktionen an. Wir haben Funktionen

  • ohne Nullstelle,
  • mit einer Nullstelle und
  • mit zwei Nullstellen.

Beispiel

ohne Nullstelle

0=3x²-6x+9  $\vert$:3, da diese Gleichung nicht in Normalform vorliegt
0=x²-2x+3 jetzt ist die Gleichung auf Normalform
p=-2; q=3 Bestimmen von p und q (Vorzeichen nicht vergessen!)
$x_{1,2}$=-$\frac{-2}{2} \pm \sqrt {(\frac{2}{2})^2-3}$
$x_{1,2}$=+1$\pm \sqrt {1-3}$
$x_{1,2}$=+1$\pm \sqrt {-2}$ (Radikand negativ)
keine Lösung, d.h. keine Nullstelle, da aus einer negativen Zahl keine Wurzel gezogen werden kann. 

Beispiel

eine Nullstelle

x²=6x-9  $\vert$ -6x+9, da diese Gleichung nicht in Normalform vorliegt
0=x²-6x+9 jetzt ist die Gleichung auf Normalform
p=-6; q=9 Bestimmen von p und q (Vorzeichen nicht vergessen!)
$x_{1,2}$=-$\frac{-6}{2} \pm \sqrt {(\frac{-6}{2})^2-9}$
$x_{1,2}$=+3 $\pm \sqrt {9-9}$
$x_{1,2}$=3 $\pm \sqrt {0}$
$x_{1,2}$=3 $\pm$ 0
$x_{1,2}$=3 doppelte Nullstelle

Beispiel

zwei Nullstellen

0=(x+3)²-16 Binomische Formel lösen
0=x²+6x+9-16
0=x²+6x-7 jetzt ist die Gleichung in Normalform
p=6; q=-7 Bestimmen von p und q (Vorzeichen nicht vergessen!)
$x_{1,2}$=-$\frac{6}{2} \pm \sqrt {(\frac{6}{2})^2-(-7)}$
$x_{1,2}$=-3 $\pm \sqrt {9+7}$
$x_{1,2}$=-3 $\pm \sqrt {16}$
$x_{1,2}$=-3 $\pm$ 4
$x_{1}$=-7
$x_{2}$=1 

Im folgenden Video wird Dir nochmal ein Beispiel vorgerechnet mit p-q-Formel und mit der Mitternachtsformel, bei der du die quadratische Gleichung nicht auf Normalform bringen musst.

Methode

Bei Verwendung der Mitternachtsformel muss die quadratische Gleichung nicht auf Normalform gebracht werden.

Video: Quadratische Funktionen mit pq-Formel und Mitternachtsformel lösen

Hier wird gezeigt, wie man Quadratische Funktionen mit der pq-Formel und der Mitternachtsformel löst.

Im folgenden Applet kannst Du die quadratische Funktion f(x)=ax²+bx+c und ihre Nullstellen erkunden oder auch von einer Gleichung die Nullstellen  und so deine Schulaufgaben überprüfen.

Bitte Box anklicken, um GeoGebra zu laden.
Multiple-Choice
Wie lautet die Lösung dieser quadratischen Gleichung 0=-3x²+3x+9?
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Kommentare zum Thema: Quadratische Funktionen mit pq-Formel und Mitternachtsformel lösen

  • Andreas Erb schrieb am 02.02.2015 um 21:08 Uhr
    Danke für den Hinweis, ich habe die Beschriftung geändert!
  • Jessica Helen Laube schrieb am 02.02.2015 um 17:46 Uhr
    Bei dem Schaubild: Radikant gleich Null steht 'quadratische Funktion ohne Nullstelle' müsste aber eine doppelte Nullstelle sein
  • Judith Frauendorf schrieb am 30.09.2014 um 15:15 Uhr
    Hallo Viktoria, du hast recht da ist ein Fehler passiert die -16 ist richtig. Vielen Dank und Viele Grüße
  • Viktoria Karb schrieb am 28.09.2014 um 12:45 Uhr
    Ich bin verwirrt. Warum ist in dem Beispiel für 2 Nullstellen in der Normallform x^2+6*x-7 ? Ich habe -3 , oben steht auch erst -12 und dann in der zweiten Reihe -16. Habe ich etwasübersehen?
Bild von Autor Dr. Judith Frauendorf

Autor: Dr. Judith Frauendorf

Dieses Dokument Quadratische Funktionen mit pq-Formel und Mitternachtsformel lösen ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Vorkenntnisse zur Analysis.

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    • Quadratische Gleichungen lösen
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      • Quadratische Funktion durch Ausklammern lösen
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