Sigma-Regeln
$\sigma$ - Umgebung
Bei der Binomialverteilung konzentrieren sich die Werte um den Erwartungswert $\mu$. Aus diesem Grund untersucht man häufig die symmetrische Umgebung um den Erwartungswert. Den Radius dieser Umgebungen, gibt man meist als Vielfaches der Standardabweichung $\sigma$ an. So ist z.B die $2 \sigma$ - Umgebung des Erwartungswerts das Intervall $ [ \mu - 2 \sigma ; \mu + 2 \sigma]$
Beispiel
Bestimmen Sie für die $\large b_{50 ; 0,3 }$ - verteilte Zufallsvariable $X$ die $2 \sigma$-Umgebung und geben sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass $X$ in dieser Umgebung liegt.
$\mu = 50 \cdot 0,3 = 15$
$\sigma = \sqrt{50 \cdot 0,3 \cdot 0.7} = 3,24 \Rightarrow 2 \sigma = 6,48$
Es ergibt sich das Intervall $ [8,52 ; 21,48] $. In diesem Intervall liegen die Werte 9, 10, … , 21
von $X$. Man muss also die Wahrscheinlichkeit $ P ( 9 \leq X \leq 21)$ berechnen.
$ P ( 9 \leq X \leq 21) = P ( X \leq 21) - P( X \leq 8 ) = \sum_{k=9}^{21} { 50 \choose k } 0,3^k \cdot 0,7^{50-k} = 0,9566 $
$\sigma$- Regeln
Für die am häufigsten verwendeten $\sigma$-Umgebungen kann man die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten mit den sogenannten $\sigma$- Regeln nährungsweise bestimmen. Diese Nährung liefert gute Werte, falls die Laplace-Bedingung $\large \bf \sigma > 3$ erfüllt ist.
Merke
Für eine binomialverteilte Zufallsgröße $X$ mit $\sigma > 3$ gilt:
$\large \bf P( | X - \mu | \leq \sigma) \approx 0,68 $
$\large \bf P( | X - \mu | \leq 1,64 \cdot \sigma) \approx 0,90 $
$\large \bf P( | X - \mu | \leq 1,96 \cdot \sigma) \approx 0,95 $
$\large \bf P( | X - \mu | \leq 2 \cdot \sigma) \approx 0,955 $
$\large \bf P( | X - \mu | \leq 2,58 \cdot \sigma) \approx 0,99 $
$\large \bf P( | X - \mu | \leq 3 \cdot \sigma) \approx 0,997 $
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