Sigma-Regeln
$\sigma$ - Umgebung
Bei der Binomialverteilung konzentrieren sich die Werte um den Erwartungswert $\mu$. Aus diesem Grund untersucht man häufig die symmetrische Umgebung um den Erwartungswert. Den Radius dieser Umgebungen, gibt man meist als Vielfaches der Standardabweichung $\sigma$ an. So ist z.B die $2 \sigma$ - Umgebung des Erwartungswerts das Intervall $ [ \mu - 2 \sigma ; \mu + 2 \sigma]$
Beispiel
Bestimmen Sie für die $\large b_{50 ; 0,3 }$ - verteilte Zufallsvariable $X$ die $2 \sigma$-Umgebung und geben sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass $X$ in dieser Umgebung liegt.
$\mu = 50 \cdot 0,3 = 15$
$\sigma = \sqrt{50 \cdot 0,3 \cdot 0.7} = 3,24 \Rightarrow 2 \sigma = 6,48$
Es ergibt sich das Intervall $ [8,52 ; 21,48] $. In diesem Intervall liegen die Werte 9, 10, … , 21
von $X$. Man muss also die Wahrscheinlichkeit $ P ( 9 \leq X \leq 21)$ berechnen.
$ P ( 9 \leq X \leq 21) = P ( X \leq 21) - P( X \leq 8 ) = \sum_{k=9}^{21} { 50 \choose k } 0,3^k \cdot 0,7^{50-k} = 0,9566 $
$\sigma$- Regeln
Für die am häufigsten verwendeten $\sigma$-Umgebungen kann man die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten mit den sogenannten $\sigma$- Regeln nährungsweise bestimmen. Diese Nährung liefert gute Werte, falls die Laplace-Bedingung $\large \bf \sigma > 3$ erfüllt ist.
Merke
Für eine binomialverteilte Zufallsgröße $X$ mit $\sigma > 3$ gilt:
$\large \bf P( | X - \mu | \leq \sigma) \approx 0,68 $
$\large \bf P( | X - \mu | \leq 1,64 \cdot \sigma) \approx 0,90 $
$\large \bf P( | X - \mu | \leq 1,96 \cdot \sigma) \approx 0,95 $
$\large \bf P( | X - \mu | \leq 2 \cdot \sigma) \approx 0,955 $
$\large \bf P( | X - \mu | \leq 2,58 \cdot \sigma) \approx 0,99 $
$\large \bf P( | X - \mu | \leq 3 \cdot \sigma) \approx 0,997 $
Hinweis:
Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.
Standardabweichung mit der passenden $\sigma$-Regel verwenden.
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