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$\sigma$ - Umgebung

Bei der Binomialverteilung konzentrieren sich die Werte um den Erwartungswert $\mu$, deshalb untersucht man häufig symmetrische Umgebung, um den Erwartungswert. Den Radius, dieser Umgebungen, gibt man meist als Vielfaches der Standardabweichung $\sigma$ an. So ist z.B die $2 \sigma$ - Umgebung des Erwartungswerts das Intervall $ [ \mu - 2 \sigma ; \mu + 2 \sigma]$

Beispiel

Bestimmen sie für die $\large b_{50 ; 0,3 }$ - verteilte Zufallsvariable $X$ die $2 \sigma$-Umgebung und geben sie die Wahrscheinlichkeit dafür an das $X$ in dieser Umgebung liegt.

$\mu = 50 \cdot 0,3 = 15$

$\sigma = \sqrt{50 \cdot 0,3 \cdot 0.7} = 3,24 \Rightarrow 2 \sigma = 6,48$

Es ergibt sich das Intervall $ [8,52 ; 21,48] $ in diesem Intervall liegen die Werte 9, 10, … , 21

von $X$. Man muss also die Wahrscheinlichkeit $ P ( 9 \leq X \leq 21)$ berechnen.

$ P ( 9 \leq X \leq 21) = P ( X \leq 21) - P( X \leq 8 ) = \sum_{k=9}^{21} { 50 \choose k } 0,3^k \cdot 0,7^{50-k} = 0,9566 $

$\sigma$- Regeln

Für die am häufigsten verwendeten $\sigma$-Umgebungen kann man die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten mit den sogenannten $\sigma$- Regeln nährungsweise bestimmen. Diese Nährung liefert gute Werte, falls die Laplace-Bedingung $\large \bf \sigma > 3$ erfüllt ist.

Merke

Für eine binomialverteilte Zufallsgröße $X$ mit $\sigma > 3$ gilt:

$\large \bf P( | X - \mu | \leq \sigma) \approx 0,68 $

$\large \bf P( | X - \mu | \leq 1,64 \cdot \sigma) \approx 0,90 $

$\large \bf P( | X - \mu | \leq 1,96 \cdot \sigma) \approx 0,95 $

$\large \bf P( | X - \mu | \leq 2 \cdot \sigma) \approx 0,955 $

$\large \bf P( | X - \mu | \leq 2,58 \cdot \sigma) \approx 0,99 $

$\large \bf P( | X - \mu | \leq 3 \cdot \sigma) \approx 0,997 $

 

Multiple-Choice
Ein Basketballer hat bei Freiwürfen eine Trefferquote von 70 %. Geben Sie ein Intervall an, in dem die Trefferzahl bei 50 Würfen, mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 99% liegt.
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Stochastik

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  • Beschreibende Statistik
    • Einführung
    • Klassen
    • Mittelwert, Median und Modus
    • Varianz und Standardabweichung
    • Darstellung von statistischen Daten
  • Wahrscheinlichkeit
    • Zufallsexperiment
    • Wahrscheinlichkeitsraum
    • Laplace-Experiment
    • Kombinatorik
  • Bedingte Wahrscheinlichkeit
    • Definition und Beispiele
    • Satz von Bayes
    • Unabhängigkeit
  • Zufallsgrößen
    • Definition Zufallsgröße
    • Wahrscheinlichkeits- und Dichtefunktion
    • Verteilungsfunktion
    • Erwartungswert einer Zufallsgröße
    • Varianz einer Zufallsgröße
  • Binomialverteilung
    • Bernoulli-Kette
    • Formel von Bernoulli
    • Erwartungswert und Varianz
    • Sigma-Regeln
  • Normalverteilung
    • Dichtefunktion der Normalverteilung
    • Verteilungsfunktion der Normalverteilung
    • Näherung für die Binomialverteilung
    • Zentraler Grenzwertsatz
  • Beurteilende Statistik
    • Einführung beurteilende Statistik
    • Signifikanztest
    • Gütefunktion und Operationscharakteristik
    • Konfidenzintervalle
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