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Näherung für die Binomialverteilung

Die Berechnung der Binomialverteilung für großes n ist, wegen der Binomialkoeffizienten, sehr rechenintensiv. Darum hat man nach schnelleren Verfahren zur Berechnung gesucht. Betrachtet man die standardisierte Zufallsgröße $Z=\large \frac{X\, - \, np}{\sqrt{np(1-p)}}$ einer binomialverteilten Zufallsgröße $X$ für ein festes p, dann nähren sich die zugehörigen Histogramme für wachsendes n einer stetigen Grenzfunktion an. Diese Grenzfunktion ist die Dichte der Standardnormalverteilung $\large \varphi$.

Nährung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung
Näherung der Binomialverteilung

Es ergeben sich die folgenden Näherungsformeln, die gute Werte liefern, falls die Laplace-Bedingung $\large \sigma > 3$ erfüllt ist.

Merke

Näherungsformeln von De Moivre-Laplace

Ist $X \sim b_{n ; p }$ mit $\mu = np$ und $\sigma=\sqrt{np(1-p)} > 3$ dann ist

 

$ \large \bf P(X = k ) \approx \frac{1}{\sigma} \varphi \left( \frac{k - \mu}{\sigma} \right)\;\; $(lokale Näherung)

 

$ \large \bf P(X \leq k ) \approx \Phi \left( \frac{k + 0,5 - \mu}{\sigma} \right) \;\;$(globale Näherung)

 

$ \large \bf P(a \leq X \leq b ) \approx \Phi \left( \frac{b + 0,5 - \mu}{\sigma} \right) - \Phi \left( \frac{a - 0,5 - \mu}{\sigma} \right)$ 

Beispiel

$X \sim b_{200; 0,6}$-verteilt. Es ist $\mu = 120$ und $\sigma = \sqrt{200\cdot 0,6 \cdot 0,4}=\sqrt{48}$

$\large P(X = 108 ) \approx \frac{1}{\sqrt{48}}\cdot \varphi\left(\frac{108-120}{\sqrt{48}}\right) = 0,0128$

Berechnen Sie den Wert auch nochmal mit der Bernoulli-Formel und vergleichen die Ergebnisse.

Multiple-Choice
Man hat festgestellt, dass sich nur jeder vierte Benutzer einer Banhofstoilette die Hände wäscht. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich von den 80 Benutzern eines Vormittags genau 18 die Hände gewaschen haben. Verwenden Sie die lokale Nährung.
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Vorstellung des Online-Kurses StochastikStochastik
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Stochastik

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

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  • Beschreibende Statistik
    • Einführung
    • Klassen
    • Mittelwert, Median und Modus
    • Varianz und Standardabweichung
    • Darstellung von statistischen Daten
  • Wahrscheinlichkeit
    • Zufallsexperiment
    • Wahrscheinlichkeitsraum
    • Laplace-Experiment
    • Kombinatorik
  • Bedingte Wahrscheinlichkeit
    • Definition und Beispiele
    • Satz von Bayes
    • Unabhängigkeit
  • Zufallsgrößen
    • Definition Zufallsgröße
    • Wahrscheinlichkeits- und Dichtefunktion
    • Verteilungsfunktion
    • Erwartungswert einer Zufallsgröße
    • Varianz einer Zufallsgröße
  • Binomialverteilung
    • Bernoulli-Kette
    • Formel von Bernoulli
    • Erwartungswert und Varianz
    • Sigma-Regeln
  • Normalverteilung
    • Dichtefunktion der Normalverteilung
    • Verteilungsfunktion der Normalverteilung
    • Näherung für die Binomialverteilung
    • Zentraler Grenzwertsatz
  • Beurteilende Statistik
    • Einführung beurteilende Statistik
    • Signifikanztest
    • Gütefunktion und Operationscharakteristik
    • Konfidenzintervalle
  • 29
  • 13
  • 107
  • 15

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    Miriam

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