Näherung für die Binomialverteilung
Die Berechnung der Binomialverteilung für großes n ist, wegen der Binomialkoeffizienten, sehr rechenintensiv. Darum hat man nach schnelleren Verfahren zur Berechnung gesucht. Betrachtet man die standardisierte Zufallsgröße $Z=\large \frac{X\, - \, np}{\sqrt{np(1-p)}}$ einer binomialverteilten Zufallsgröße $X$ für ein festes p, dann nähren sich die zugehörigen Histogramme für wachsendes n einer stetigen Grenzfunktion an. Diese Grenzfunktion ist die Dichte der Standardnormalverteilung $\large \varphi$.
Es ergeben sich die folgenden Näherungsformeln, die gute Werte liefern, falls die Laplace-Bedingung $\large \sigma > 3$ erfüllt ist.
Merke
Näherungsformeln von De Moivre-Laplace
Ist $X \sim b_{n ; p }$ mit $\mu = np$ und $\sigma=\sqrt{np(1-p)} > 3$ dann ist
$ \large \bf P(X = k ) \approx \frac{1}{\sigma} \varphi \left( \frac{k - \mu}{\sigma} \right)\;\; $(lokale Näherung)
$ \large \bf P(X \leq k ) \approx \Phi \left( \frac{k + 0,5 - \mu}{\sigma} \right) \;\;$(globale Näherung)
$ \large \bf P(a \leq X \leq b ) \approx \Phi \left( \frac{b + 0,5 - \mu}{\sigma} \right) - \Phi \left( \frac{a - 0,5 - \mu}{\sigma} \right)$
Beispiel
$X \sim b_{200; 0,6}$-verteilt. Es ist $\mu = 120$ und $\sigma = \sqrt{200\cdot 0,6 \cdot 0,4}=\sqrt{48}$
$\large P(X = 108 ) \approx \frac{1}{\sqrt{48}}\cdot \varphi\left(\frac{108-120}{\sqrt{48}}\right) = 0,0128$
Berechnen Sie den Wert auch nochmal mit der Bernoulli-Formel und vergleichen die Ergebnisse.
Hinweis:
Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.
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