Näherung für die Binomialverteilung
Die Berechnung der Binomialverteilung für großes n ist, wegen der Binomialkoeffizienten, sehr rechenintensiv. Darum hat man nach schnelleren Verfahren zur Berechnung gesucht. Betrachtet man die standardisierte Zufallsgröße $Z=\large \frac{X\, - \, np}{\sqrt{np(1-p)}}$ einer binomialverteilten Zufallsgröße $X$ für ein festes p, dann nähren sich die zugehörigen Histogramme für wachsendes n einer stetigen Grenzfunktion an. Diese Grenzfunktion ist die Dichte der Standardnormalverteilung $\large \varphi$.
Es ergeben sich die folgenden Näherungsformeln, die gute Werte liefern, falls die Laplace-Bedingung $\large \sigma > 3$ erfüllt ist.
Merke
Näherungsformeln von De Moivre-Laplace
Ist $X \sim b_{n ; p }$ mit $\mu = np$ und $\sigma=\sqrt{np(1-p)} > 3$ dann ist
$ \large \bf P(X = k ) \approx \frac{1}{\sigma} \varphi \left( \frac{k - \mu}{\sigma} \right)\;\; $(lokale Näherung)
$ \large \bf P(X \leq k ) \approx \Phi \left( \frac{k + 0,5 - \mu}{\sigma} \right) \;\;$(globale Näherung)
$ \large \bf P(a \leq X \leq b ) \approx \Phi \left( \frac{b + 0,5 - \mu}{\sigma} \right) - \Phi \left( \frac{a - 0,5 - \mu}{\sigma} \right)$
Beispiel
$X \sim b_{200; 0,6}$-verteilt. Es ist $\mu = 120$ und $\sigma = \sqrt{200\cdot 0,6 \cdot 0,4}=\sqrt{48}$
$\large P(X = 108 ) \approx \frac{1}{\sqrt{48}}\cdot \varphi\left(\frac{108-120}{\sqrt{48}}\right) = 0,0128$
Berechnen Sie den Wert auch nochmal mit der Bernoulli-Formel und vergleichen die Ergebnisse.
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