abiweb
online lernen

Die perfekte Abiturvorbereitung
in Mathematik

Im Kurspaket Mathematik erwarten Dich:
  • 195 Lernvideos
  • 414 Lerntexte
  • 598 interaktive Übungen
  • original Abituraufgaben
gratis testen

Näherung für die Binomialverteilung

Die Berechnung der Binomialverteilung für großes n ist, wegen der Binomialkoeffizienten, sehr rechenintensiv. Darum hat man nach schnelleren Verfahren zur Berechnung gesucht. Betrachtet man die standardisierte Zufallsgröße $Z=\large \frac{X\, - \, np}{\sqrt{np(1-p)}}$ einer binomialverteilten Zufallsgröße $X$ für ein festes p, dann nähren sich die zugehörigen Histogramme für wachsendes n einer stetigen Grenzfunktion an. Diese Grenzfunktion ist die Dichte der Standardnormalverteilung $\large \varphi$.

Nährung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung
Näherung der Binomialverteilung

Es ergeben sich die folgenden Näherungsformeln, die gute Werte liefern, falls die Laplace-Bedingung $\large \sigma > 3$ erfüllt ist.

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

Näherungsformeln von De Moivre-Laplace

Ist $X \sim b_{n ; p }$ mit $\mu = np$ und $\sigma=\sqrt{np(1-p)} > 3$ dann ist

 

$ \large \bf P(X = k ) \approx \frac{1}{\sigma} \varphi \left( \frac{k - \mu}{\sigma} \right)\;\; $(lokale Näherung)

 

$ \large \bf P(X \leq k ) \approx \Phi \left( \frac{k + 0,5 - \mu}{\sigma} \right) \;\;$(globale Näherung)

 

$ \large \bf P(a \leq X \leq b ) \approx \Phi \left( \frac{b + 0,5 - \mu}{\sigma} \right) - \Phi \left( \frac{a - 0,5 - \mu}{\sigma} \right)$ 

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

$X \sim b_{200; 0,6}$-verteilt. Es ist $\mu = 120$ und $\sigma = \sqrt{200\cdot 0,6 \cdot 0,4}=\sqrt{48}$

$\large P(X = 108 ) \approx \frac{1}{\sqrt{48}}\cdot \varphi\left(\frac{108-120}{\sqrt{48}}\right) = 0,0128$

Berechnen Sie den Wert auch nochmal mit der Bernoulli-Formel und vergleichen die Ergebnisse.

Multiple-Choice
Berechnen Sie die globale Nährung für $P(X \leq 45)$ . Für $X \sim b_{100\, ; \, 0,5}$
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Stochastik

abiweb - Abitur-Vorbereitung online (abiweb.de)
Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Beschreibende Statistik
    • Einführung
    • Klassen
    • Mittelwert, Median und Modus
    • Varianz und Standardabweichung
    • Darstellung von statistischen Daten
  • Wahrscheinlichkeit
    • Zufallsexperiment
    • Wahrscheinlichkeitsraum
    • Laplace-Experiment
    • Kombinatorik
  • Bedingte Wahrscheinlichkeit
    • Definition und Beispiele
    • Satz von Bayes
    • Unabhängigkeit
  • Zufallsgrößen
    • Definition Zufallsgröße
    • Wahrscheinlichkeits- und Dichtefunktion
    • Verteilungsfunktion
    • Erwartungswert einer Zufallsgröße
    • Varianz einer Zufallsgröße
  • Binomialverteilung
    • Bernoulli-Kette
    • Formel von Bernoulli
    • Erwartungswert und Varianz
    • Sigma-Regeln
  • Normalverteilung
    • Dichtefunktion der Normalverteilung
    • Verteilungsfunktion der Normalverteilung
    • Näherung für die Binomialverteilung
    • Zentraler Grenzwertsatz
  • Beurteilende Statistik
    • Einführung beurteilende Statistik
    • Signifikanztest
    • Gütefunktion und Operationscharakteristik
    • Konfidenzintervalle
  • 29
  • 13
  • 106
  • 15

Unsere Nutzer sagen:

  • Gute Bewertung für Stochastik

    Ein Kursnutzer am 19.01.2017:
    "Gut erklärt "