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Näherung für die Binomialverteilung

Die Berechnung der Binomialverteilung für großes n ist, wegen der Binomialkoeffizienten, sehr rechenintensiv. Darum hat man nach schnelleren Verfahren zur Berechnung gesucht. Betrachtet man die standardisierte Zufallsgröße $Z=\large \frac{X\, - \, np}{\sqrt{np(1-p)}}$ einer binomialverteilten Zufallsgröße $X$ für ein festes p, dann nähren sich die zugehörigen Histogramme für wachsendes n einer stetigen Grenzfunktion an. Diese Grenzfunktion ist die Dichte der Standardnormalverteilung $\large \varphi$.

Nährung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung
Näherung der Binomialverteilung

Es ergeben sich die folgenden Näherungsformeln, die gute Werte liefern, falls die Laplace-Bedingung $\large \sigma > 3$ erfüllt ist.

Merke

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Näherungsformeln von De Moivre-Laplace

Ist $X \sim b_{n ; p }$ mit $\mu = np$ und $\sigma=\sqrt{np(1-p)} > 3$ dann ist

 

$ \large \bf P(X = k ) \approx \frac{1}{\sigma} \varphi \left( \frac{k - \mu}{\sigma} \right)\;\; $(lokale Näherung)

 

$ \large \bf P(X \leq k ) \approx \Phi \left( \frac{k + 0,5 - \mu}{\sigma} \right) \;\;$(globale Näherung)

 

$ \large \bf P(a \leq X \leq b ) \approx \Phi \left( \frac{b + 0,5 - \mu}{\sigma} \right) - \Phi \left( \frac{a - 0,5 - \mu}{\sigma} \right)$ 

Beispiel

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$X \sim b_{200; 0,6}$-verteilt. Es ist $\mu = 120$ und $\sigma = \sqrt{200\cdot 0,6 \cdot 0,4}=\sqrt{48}$

$\large P(X = 108 ) \approx \frac{1}{\sqrt{48}}\cdot \varphi\left(\frac{108-120}{\sqrt{48}}\right) = 0,0128$

Berechnen Sie den Wert auch nochmal mit der Bernoulli-Formel und vergleichen die Ergebnisse.

Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Stochastik

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

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  • Beschreibende Statistik
    • Einführung
    • Klassen
    • Mittelwert, Median und Modus
    • Varianz und Standardabweichung
    • Darstellung von statistischen Daten
  • Wahrscheinlichkeit
    • Zufallsexperiment
    • Wahrscheinlichkeitsraum
    • Laplace-Experiment
    • Kombinatorik
  • Bedingte Wahrscheinlichkeit
    • Definition und Beispiele
    • Satz von Bayes
    • Unabhängigkeit
  • Zufallsgrößen
    • Definition Zufallsgröße
    • Wahrscheinlichkeits- und Dichtefunktion
    • Verteilungsfunktion
    • Erwartungswert einer Zufallsgröße
    • Varianz einer Zufallsgröße
  • Binomialverteilung
    • Bernoulli-Kette
    • Formel von Bernoulli
    • Erwartungswert und Varianz
    • Sigma-Regeln
  • Normalverteilung
    • Dichtefunktion der Normalverteilung
    • Verteilungsfunktion der Normalverteilung
    • Näherung für die Binomialverteilung
    • Zentraler Grenzwertsatz
  • Beurteilende Statistik
    • Einführung beurteilende Statistik
    • Signifikanztest
    • Gütefunktion und Operationscharakteristik
    • Konfidenzintervalle
  • 29
  • 13
  • 106
  • 35