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Das Ergebnis eines k-stufigen Zufallsexperiments lässt sich mit k-Tupeln $(a_1 ; a_2 ; \dots ; a_k)$ beschreiben, wobei jeder Eintrag für das Ergebnis in der jeweiligen Stufe steht. Ein Ereignis A kann man, als eine Menge von solchen k-Tupeln beschreiben. In diesem Abschnitt versuchen wir solche Mengen abzuzählen.

Zählprinzip für k-Tupel

Kann für den i-ten Eintrag $a_i$ aus $m_i$ Möglichkeiten unabhängig gewählt werden, dann gibt es

$\large m_1 \cdot m_2 \cdot \dots  \cdot m_k$ verschiedene k-Tupel der Form $(a_1 ; a_2 ; \dots ; a_k)$

Beispiel

Experiment : Es werden nacheinander eine Münze, ein Würfel und nochmal eine Münze geworfen.

In der ersten Stufe gibt es 2 Möglichkeiten , in der zweiten Stufe 6 Möglichkeiten und in der letzten Stufe wieder 2 Möglichkeiten.

Nach dem Zählprinzip für k-Tupel hat dieses Experiment $2 \cdot 6 \cdot 2 = 24$ verschiedene Ergebnisse.

 Permutationen

Sind alle Einträge eines k-Tupels verschieden, so gibt es

$\large k!$ verschiedene k-Tupel,

mit denselben Einträgen, die sich nur in der Reihenfolge unterscheiden.

Beispiel

Es gibt $6= 3!$ verschiedene 3-Tupel, die die Einträge 1, 2, und 3 haben : (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3, 2, 1) 

Häufig interessiert nicht die Reihenfolge, sondern nur wie oft ein bestimmter Wert auftritt. Z.B. wenn man einen Würfel 5 mal wirft und die Wahrscheinlichkeit von A = {genau 3 Sechsen} sucht. Es ist $P((6,6,6,\bar{6},\bar{6})) =\large \left(\frac{1}{6}\right)^3\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2$ genau wie für jede andere Anordnung der Sechsen. Man muss nur noch herausfinden auf wie viele Arten man die 3 Sechsen auf die 5 Würfe verteilen kann, um $P(A)$ zu berechnen. Die Antwort liefert der folgende Satz.

Merke

Satz:

Die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge $k \leq n$ ist

$\Large {n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

 Es gibt also $\large {5 \choose 3} = \frac{5!}{3!2!}=10$ verschiedene Anordnungen der 3 Sechsen bei 5 Würfen. Damit ist $P(A)= 10 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2 \approx 3,2\%$

 

Multiple-Choice
In einer Urne sind 5 schwarze und 2 weiße Kugeln. Es werden mit einem Griff 4 Kugel gezogen. Welche Aussagen über das Ereignis A = { Es werden 3 schwarze und 1 weiße Kugel gezogen} sind richtig?
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Kommentare zum Thema: Kombinatorik

  • Andreas Erb schrieb am 07.02.2015 um 14:00 Uhr
    Das ist korrekt, damit war jeweils die Anzahl der Möglichkeiten gemeint. Ich habe deshalb die Aufgabe entsprechend geändert, jetzt wird nach den richtigen Aussagen gefragt. Danke für den Hinweis!
  • Psych schrieb am 07.02.2015 um 13:20 Uhr
    In der Frage in der man die Wahrscheinlichkeit berechnen soll, dass 3 schwarze und eine weiße Kugel gezogen werden sind zwei der drei anzukreuzenden Antworten 20 und 35. Aber das sind doch keine Wahrscheinlichkeiten?!
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  • Wahrscheinlichkeit
    • Zufallsexperiment
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    • Kombinatorik
  • Bedingte Wahrscheinlichkeit
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    "Endlich habe ich es verstanden :) Ich schreibe morgen meine Klausur und denke, dass ich es nun kann :)"
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