Kombinatorik

Das Ergebnis eines k-stufigen Zufallsexperiments lässt sich mit k-Tupeln $(a_1 ; a_2 ; \dots ; a_k)$ beschreiben, wobei jeder Eintrag für das Ergebnis in der jeweiligen Stufe steht. Ein Ereignis A kann man, als eine Menge von solchen k-Tupeln beschreiben. In diesem Abschnitt versuchen wir solche Mengen abzuzählen.

Zählprinzip für k-Tupel

Kann für den i-ten Eintrag $a_i$ aus $m_i$ Möglichkeiten unabhängig gewählt werden, dann gibt es

$\large m_1 \cdot m_2 \cdot \dots  \cdot m_k$ verschiedene k-Tupel der Form $(a_1 ; a_2 ; \dots ; a_k)$

 Permutationen

Sind alle Einträge eines k-Tupels verschieden, so gibt es

$\large k!$ verschiedene k-Tupel,

mit denselben Einträgen, die sich nur in der Reihenfolge unterscheiden.

Häufig interessiert nicht die Reihenfolge, sondern nur wie oft ein bestimmter Wert auftritt. Z.B. wenn man einen Würfel 5 mal wirft und die Wahrscheinlichkeit von A = {genau 3 Sechsen} sucht. Es ist $P((6,6,6,\bar{6},\bar{6})) =\large \left(\frac{1}{6}\right)^3\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2$ genau wie für jede andere Anordnung der Sechsen. Man muss nur noch herausfinden auf wie viele Arten man die 3 Sechsen auf die 5 Würfe verteilen kann, um $P(A)$ zu berechnen. Die Antwort liefert der folgende Satz.

 Es gibt also $\large {5 \choose 3} = \frac{5!}{3!2!}=10$ verschiedene Anordnungen der 3 Sechsen bei 5 Würfen. Damit ist $P(A)= 10 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2 \approx 3,2\%$