Multiplikation von Matrizen
Eine wichtige, aber nicht ganz einfache mathematische Operation ist die Multiplikation zweier Matrizen. Hierbei wird das Skalarprodukt von jeder Zeile der ersten Matrix mit jeder Spalte der zweiten Matrix gebildet. Damit die Rechnung am Ende „aufgeht“, muss die erste Matrix gleich viele Spalten haben wie die zweite Matrix an Zeilen besitzt.
Die Ergebnismatrix wird dann so viele Zeilen wie die erste und so viele Spalten wie die zweite Matrix besitzen.
Methode
Kurz und mathematisch: Ist $A$ eine $l \times m$ - Matrix und $B$ eine $m \times n$- Matrix, so ist $C = A \cdot B$ eine $l \times n$ - Matrix.
Wenn $a_{ij}$ die Einträge von A und $b_{jk}$ die von B sind, so wird jeder Eintrag $c_{ik}$ von $C$ ermittelt durch die Skalarmultiplikation des i-ten Zeilenvektors von A mit dem k-ten Spaltenvektor von B.
Beispiel
Es soll das Produkt $ A \cdot B$ aus den beiden Matrizen $A= \begin{pmatrix} 3 & 5 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ und $B= \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ gebildet werden.
Die Anzahl der Spalten von A und der Zeilen von B sind identisch, das bedeutet eine Multiplikation ist möglich. Zur Berechnung des Produktes ordnen wir die Matrizen ein bisschen anders an (vgl. Bild).
Jeder Eintrag der Ergebnismatrix C ergibt sich nun aus der Zeile von A und Spalte von B, die sich am gesuchten Eintrag schneiden.
Der erste Eintrag links oben berechnet sich als Skalarprodukt des „liegenden“ Vektors $\begin{pmatrix} 3 & 5 & 1 \end{pmatrix}$ und des „stehenden“ $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, also ist $c_{11} = 3 \cdot 1 + 5 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 3 + 10 + 1 = 14$.
Für den Eintrag rechts daneben gilt
$c_{12}= 3 \cdot 3 + 5 \cdot 0 + 1 \cdot 2 = 9 + 0 + 2 = 11$.
(An dieser Stelle hat sich übrigens im Video ein kleiner Rechenfehler eingeschlichen.)
So verfährt man für alle 6 Einträge und erhält dann als Ergebnis $C= A \cdot B = \begin{pmatrix} 14 & 11 \\ 7 & 12 \\ 4 & -1 \end{pmatrix}$
Im Gegensatz zur Multiplikation zweier reeller Zahlen ist die Multiplikation zweier Matrizen nicht kommutativ ($A \cdot B \neq B \cdot A$), meistens wird das Vertauschen noch nicht einmal erlaubt sein (vgl. Bedingung!).
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