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Wahrscheinlichkeits- und Dichtefunktion

Hat ein Zufallsvariable $X$ nur eine endliche Wertemenge $W_X = \{x_1, x_2, \dots , x_n \}$, dann kann man jedem Wert von $X$ eine Wahrscheinlichkeit zuordnen.

Merke

Wahrscheinlichkeitsfunktion

$\large \bf f : W_X \rightarrow [ 0 ; 1 ]$

$\bf f(x_i)=P(X = x_i)$

mit$ f(x_i) \geq 0$ und $\sum_{i=1}^n f(x_i) = 1$

Stetige Zufallsgrößen

Ist die Wertemenge  der Zufallsvariable $X$ eine überabzählbare Teilmenge der reellen Zahlen z.B. ein  Intervall $[a ; b] \in \mathbb{R}$, dann kann man nicht mehr jedem Wert eine Wahrscheinlichkeit zuordnen. In der Regel genügt es, wenn man zumindest jedem Intervall in $ \mathbb{R}$ eine Wahrscheinlichkeit zuordnen kann. Dieser Zuordnung kann man mit einer Dichtefunktion f bewerkstelligen.

Merke

Eine Dichte (Dichtefunktion) ist eine nichtnegative Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ mit

$\large \bf \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1 $

Die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ einen Wert im Intervall $[a ; b]$ annimmt ist dann

$\large \bf P( a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x) dx $

Beispiel

Sind die Werte einer Zufallsgröße $X$ im Intervall $[a;b]$ gleichverteilt, dann ist die zugehörige Dichtefunktion $f$

$\large \begin{equation} f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{b-a} & falls\; x \in[a,b] \\ 0 & sonst \end{array} \right. \end{equation}$

Dichte der Gleichverteilung über dem Intervall [1,4]
Dichte der Gleichverteilung über [1,4]

#

Multiple-Choice
Die Funktion $ f: \{ 1,2,3 \} \rightarrow [0 ; 1] $ mit $f(1) = 0,15  \;\; f(2) = 0,6 \;\; f(3) = 0,35$ 
kann keine Wahrscheinlichkeitsfunktion sein.
Welche Eigenschaft einer W-Funktion ist verletzt ?
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Stochastik

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Beschreibende Statistik
    • Einführung
    • Klassen
    • Mittelwert, Median und Modus
    • Varianz und Standardabweichung
    • Darstellung von statistischen Daten
  • Wahrscheinlichkeit
    • Zufallsexperiment
    • Wahrscheinlichkeitsraum
    • Laplace-Experiment
    • Kombinatorik
  • Bedingte Wahrscheinlichkeit
    • Definition und Beispiele
    • Satz von Bayes
    • Unabhängigkeit
  • Zufallsgrößen
    • Definition Zufallsgröße
    • Wahrscheinlichkeits- und Dichtefunktion
    • Verteilungsfunktion
    • Erwartungswert einer Zufallsgröße
    • Varianz einer Zufallsgröße
  • Binomialverteilung
    • Bernoulli-Kette
    • Formel von Bernoulli
    • Erwartungswert und Varianz
    • Sigma-Regeln
  • Normalverteilung
    • Dichtefunktion der Normalverteilung
    • Verteilungsfunktion der Normalverteilung
    • Näherung für die Binomialverteilung
    • Zentraler Grenzwertsatz
  • Beurteilende Statistik
    • Einführung beurteilende Statistik
    • Signifikanztest
    • Gütefunktion und Operationscharakteristik
    • Konfidenzintervalle
  • 29
  • 13
  • 106
  • 15

Unsere Nutzer sagen:

  • Gute Bewertung für Stochastik

    Ein Kursnutzer am 19.01.2017:
    "Gut erklärt "