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in Mathematik

Im Kurspaket Mathematik erwarten Dich:
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Wahrscheinlichkeits- und Dichtefunktion

Hat ein Zufallsvariable $X$ nur eine endliche Wertemenge $W_X = \{x_1, x_2, \dots , x_n \}$, dann kann man jedem Wert von $X$ eine Wahrscheinlichkeit zuordnen.

Merke

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Wahrscheinlichkeitsfunktion

$\large \bf f : W_X \rightarrow [ 0 ; 1 ]$

$\bf f(x_i)=P(X = x_i)$

mit$ f(x_i) \geq 0$ und $\sum_{i=1}^n f(x_i) = 1$

Stetige Zufallsgrößen

Ist die Wertemenge  der Zufallsvariable $X$ eine überabzählbare Teilmenge der reellen Zahlen z.B. ein  Intervall $[a ; b] \in \mathbb{R}$, dann kann man nicht mehr jedem Wert eine Wahrscheinlichkeit zuordnen. In der Regel genügt es, wenn man zumindest jedem Intervall in $ \mathbb{R}$ eine Wahrscheinlichkeit zuordnen kann. Dieser Zuordnung kann man mit einer Dichtefunktion f bewerkstelligen.

Merke

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Eine Dichte (Dichtefunktion) ist eine nichtnegative Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ mit

$\large \bf \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1 $

Die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ einen Wert im Intervall $[a ; b]$ annimmt ist dann

$\large \bf P( a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x) dx $

Beispiel

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Sind die Werte einer Zufallsgröße $X$ im Intervall $[a;b]$ gleichverteilt, dann ist die zugehörige Dichtefunktion $f$

$\large \begin{equation} f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{b-a} & falls\; x \in[a,b] \\ 0 & sonst \end{array} \right. \end{equation}$

Dichte der Gleichverteilung über dem Intervall [1,4]
Dichte der Gleichverteilung über [1,4]

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Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Stochastik

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Beschreibende Statistik
    • Einführung
    • Klassen
    • Mittelwert, Median und Modus
    • Varianz und Standardabweichung
    • Darstellung von statistischen Daten
  • Wahrscheinlichkeit
    • Zufallsexperiment
    • Wahrscheinlichkeitsraum
    • Laplace-Experiment
    • Kombinatorik
  • Bedingte Wahrscheinlichkeit
    • Definition und Beispiele
    • Satz von Bayes
    • Unabhängigkeit
  • Zufallsgrößen
    • Definition Zufallsgröße
    • Wahrscheinlichkeits- und Dichtefunktion
    • Verteilungsfunktion
    • Erwartungswert einer Zufallsgröße
    • Varianz einer Zufallsgröße
  • Binomialverteilung
    • Bernoulli-Kette
    • Formel von Bernoulli
    • Erwartungswert und Varianz
    • Sigma-Regeln
  • Normalverteilung
    • Dichtefunktion der Normalverteilung
    • Verteilungsfunktion der Normalverteilung
    • Näherung für die Binomialverteilung
    • Zentraler Grenzwertsatz
  • Beurteilende Statistik
    • Einführung beurteilende Statistik
    • Signifikanztest
    • Gütefunktion und Operationscharakteristik
    • Konfidenzintervalle
  • 29
  • 13
  • 106
  • 35