Wahrscheinlichkeits- und Dichtefunktion
Hat ein Zufallsvariable $X$ nur eine endliche Wertemenge $W_X = \{x_1, x_2, \dots , x_n \}$, dann kann man jedem Wert von $X$ eine Wahrscheinlichkeit zuordnen.
Merke
Wahrscheinlichkeitsfunktion
$\large \bf f : W_X \rightarrow [ 0 ; 1 ]$
$\bf f(x_i)=P(X = x_i)$
mit$ f(x_i) \geq 0$ und $\sum_{i=1}^n f(x_i) = 1$
Stetige Zufallsgrößen
Ist die Wertemenge der Zufallsvariable $X$ eine überabzählbare Teilmenge der reellen Zahlen z.B. ein Intervall $[a ; b] \in \mathbb{R}$, dann kann man nicht mehr jedem Wert eine Wahrscheinlichkeit zuordnen. In der Regel genügt es, wenn man zumindest jedem Intervall in $ \mathbb{R}$ eine Wahrscheinlichkeit zuordnen kann. Dieser Zuordnung kann man mit einer Dichtefunktion f bewerkstelligen.
Merke
Eine Dichte (Dichtefunktion) ist eine nichtnegative Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ mit
$\large \bf \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1 $
Die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ einen Wert im Intervall $[a ; b]$ annimmt ist dann
$\large \bf P( a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x) dx $
Beispiel
Sind die Werte einer Zufallsgröße $X$ im Intervall $[a;b]$ gleichverteilt, dann ist die zugehörige Dichtefunktion $f$
$\large \begin{equation} f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{b-a} & falls\; x \in[a,b] \\ 0 & sonst \end{array} \right. \end{equation}$
![Dichte der Gleichverteilung über dem Intervall [1,4]](/assets/courses/media/dichte-gleichverteilung3-print.png "Dichte der Gleichverteilung über [1,4]")
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