Wahrscheinlichkeits- und Dichtefunktion
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Hat ein Zufallsvariable $X$ nur eine endliche Wertemenge $W_X = \{x_1, x_2, \dots , x_n \}$, dann kann man jedem Wert von $X$ eine Wahrscheinlichkeit zuordnen.
Merke
Wahrscheinlichkeitsfunktion
$\large \bf f : W_X \rightarrow [ 0 ; 1 ]$
$\bf f(x_i)=P(X = x_i)$
mit$ f(x_i) \geq 0$ und $\sum_{i=1}^n f(x_i) = 1$
Stetige Zufallsgrößen
Ist die Wertemenge der Zufallsvariable $X$ eine überabzählbare Teilmenge der reellen Zahlen z.B. ein Intervall $[a ; b] \in \mathbb{R}$, dann kann man nicht mehr jedem Wert eine Wahrscheinlichkeit zuordnen. In der Regel genügt es, wenn man zumindest jedem Intervall in $ \mathbb{R}$ eine Wahrscheinlichkeit zuordnen kann. Dieser Zuordnung kann man mit einer Dichtefunktion f bewerkstelligen.
Merke
Eine Dichte (Dichtefunktion) ist eine nichtnegative Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ mit
$\large \bf \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1 $
Die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ einen Wert im Intervall $[a ; b]$ annimmt ist dann
$\large \bf P( a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x) dx $
Beispiel
Sind die Werte einer Zufallsgröße $X$ im Intervall $[a;b]$ gleichverteilt, dann ist die zugehörige Dichtefunktion $f$
$\large \begin{equation} f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{b-a} & falls\; x \in[a,b] \\ 0 & sonst \end{array} \right. \end{equation}$
![Dichte der Gleichverteilung über dem Intervall [1,4]](/assets/courses/media/dichte-gleichverteilung3-print.png "Dichte der Gleichverteilung über [1,4]")
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kann keine Wahrscheinlichkeitsfunktion sein.
Welche Eigenschaft einer W-Funktion ist verletzt ?
Hinweis:
Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.
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