Funktionsuntersuchung einer quadratischen Funktion

Bevor du die Funktionsuntersuchung abarbeitest ist es sinnvoll, sich die Funktion anzusehen und zu überlegen welche Besonderheiten diese hat und wie die Funktion aussieht. Mache dir auch eine Skizze von der Funktion.

Ohne Taschenrechner und schriftliche Rechnungen lässt sich folgendes über die Funktion $\ f(x)=(x+2)²-4=x²+4x=x(x+4) $ sagen:

• Die Funktion ist eine nach oben geöffnete Parabel.
  (Begründung: x² ist positiv)
• Die Funktion hat bei (-2/-4) ihren Scheitelpunkt, das heißt bei (-2/-4) ist ein Minimum.
  (Begründung: Da die Funktion in der Scheitelpunktsform vorliegt, kann der Scheitelpunkt direkt abgelesen werden. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, muss es ein Minimum sein.)
• Der y-Achsenabschnitt liegt bei 0.
  (Begründung: Wenn x=0,dann ist y=0)
• Wird die Funktion durch ausklammern umgeformt können auch die Nullstellen x=0 und x=-4 abgelesen werden.
  (Begründung: ein Produkt ist immer dann Null, wenn einer seiner beiden Faktoren Null ist. Das Produkt ist Null wenn x=0 oder wenn (x+4) gleich Null. x+4 ist Null wenn x=-4 ist.)
• Die Funktion hat keinen Wendepunkt, da es eine Parabel ist.

Skizze Beispiel 1

Wenn du einen Taschenrechner mit Graphikmenü besitzt, solltest du dir die Funktion am Anfang auch schon ansehen.

Da wir bei dieser einfachen Funktion schon wissen wie diese aussieht brauchen wir die Punkte der Funktionsuntersuchung "nur noch" aufzuschreiben.

Definitionsbereich

Da alle x-Werte in die Funktion eingesetzt werden können, gehören alle reelen Zahlen zum Definitionsbereich.

Ergebniss: D=IR

Symmetrie

Symmetrisch zur y-Achse oder zum Ursprung ist die Funktion nicht, da gerade und ungerade Exponenten in der Funktion vorhanden sind. Rechnerisch kann es auch überprüft werden:

Achsensymmetrie: f(-x)=f(x)
                           f(-x)=(-x)²+4(-x)=x²-4, f(x)=x²+4
                           x²-4 $\neq$ x²+4 -> nicht achsensymmetrisch

Punktsymmetrie: f(-x)=-f(x)
                         f(-x)=(-x)²+4(-x)=x²-4, -f(x)=-(x²+4)=-x²-4
                         x²-4 $\neq$ -x²-4 -> nicht punktsymmetrisch

 Aus der Skizze ist jedoch zu erkennen, dass die Funktion achsensymmetrisch zu x=-2 ist.

Rechnerische Überprüfung mit der Bedingung f(x + x₀) = f(-x + x₀) :

f(x-2)=(x-2+2)²-4=x²-4

f(-x-2)=(-x-2+2)²-4=x²-4

x²-4=x²-4

Ergebniss: Die Funktion ist achsensymmetrisch zu x=-2.

Schnittpunkte mit den Achsen

y-Achsenabschnitt

Rechnerische Bestimmung durch Berechnung von f(0), d.h. x wird in der Funktionsgleichung Null gesetzt.

f(0)=(0-2)²-4=4-4=0

Ergebniss: y₀=0

Nullstellen

Bedingung: f(x)=0
                 0=x²+4x,
                 Bei dieser Form der quadratischen Gleichung (x² und x) ist es am schnellsten
                 x auszuklammern und die einzelnen Faktoren Null zu setzen.

                0=x(x+4)
                0=x     -> x=0
                0=x+4 -> x=-4

Ergebnis: X₀₁=0        x₀₂=-4

Extrempunkte

a) x-Werte berechnen

Bedingung: f´(x)=0
                 f´(x)=2x+4
                 0=2x+4, nach x umstellen
                 x_E=-2

b) y-Wert berechnen

y_E=f(x_E)=f(-2)=(-2)²+4 $\cdot $ (-2)=4-8=-4
yE=-4

c) Überprüfung auf Hoch und Tiefpunkt mit der 2. Ableitung

f´´(x)=2>0 -> Tiefpunkt

Ergebnis: TP (-2/-4)

Wendepunkte

Bedingung: f``(x)=0
                 f``(x)=2 $\neq$ 0 -> es gibt keine Wendepunkte

Globalverhalten

Da die Funktion positiv ist und der höchste Exponent gerade gilt:

wenn x-> $\infty$, dann f(x) -> $\infty$

wenn x-> $-\infty$, dann f(x) -> $\infty$

Wertebereich

Da er höchste Exponent der Funktion gerade ist, und die Funktion positiv wird der Wertebereich nach unten beschränkt. Tiefster Punkt ist dabei das Minimum bei y=-4.

W = {x ∈ IR | x ≥ -4}
D. h. alle reellen Zahlen gleich oder größer als -4 sind im Wertebereich enthalten.

Monotonie

Die Monotonie wechselt immer an den Extrempunkten. Entscheidend sind die x-Werte.

Hier gibt es ein Minimum bei x=-2.

Die Monotonie kann dann folgendermaßen in 2 Möglichkeiten angegeben werden.

1. smf für x < -2 und sms für x>-2 oder

2. smf auf Intervall ]-$\infty$,-2[ und sms auf Intervall ]-2,$\infty$[

Graph

Um den Graph zu erstellen ist es wichtig zuerst alle berechneten Punkte einzutragen.
In unserem Beispiel sind das:

y₀=0,

X₀₁=0        x₀₂=-4

TP (-2/-4)

Sind die Punkte nicht ausreichend, um den Graph gut zu zeichnen, können noch weitere Stützpunkte berechnet werden.

Hier ist es z.B. sinnvoll noch zwei äußere Punkte zu berechnen.

f(1)=(1+2)²=3²-4=5 -> P (1/5)

Da Symmetrie zur Achse x=-2 besteht liegt der gespiegelte Punkte bei
f(-5)=5 -> Q (-5/5)

Dann werden die Punkte zu einem Graphen verbunden.

Graph quadratische Funktion

Anhand des Graphen werden nun nochmal die Aussagen zum Definitionsbereich zur Symmetrie, zur Monotonie, zum Globalverhalten und zum Wertebereich überprüft.