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Beim Globalverlauf wird das Verhalten der y-Werte betrachtet, wenn die x-Werte positiv oder negativ unendlich groß werden (x->$\infty$ und x->$-\infty$).

Das Globalverhalten wird auch Verhalten im Unendlichen genannt, da betrachtet wird, wie sich die Funktion f(x) im Unendlichen (d.h. für unendlich große x-Werte) verhält.

Bei ganzrationalen Funktionen gibt es nur vier unterschiedliche Globalverläufe. Zwischenden beiden "Enden" der Funktion können beliebig viele Maxima, Minima und Wendepunkte liegen.

Welchen Verlauf eine ganzrationale Funktion hat, darüber entscheidet alleine der höchste Exponent und das Vorzeichen.

Beispiele ganzrationaler Funktionen

nach oben geöffnete Parabel
nach oben geöffnete Parabel

$\ f(x) = x^8-x^7+x^5 $

  • gerader Exponent
  • positives Vorzeichen
nach unten geöffnete Parabel
nach unten geöffnete Parabel

$\ f(x)=-x^6-x^5+x^3$

  • gerader Exponent
  • negatives Vorzeichen
steigende kubische Funktion

$\ f(x)=x^9-x^8+x^5$

  • ungerader Exponent
  • positives Vorzeichen
negative ungerade Funktion
negative ungerade Funktion

$\ f(x)= -x^7-x^6+x^5$

  • ungerader Exponent
  • negatives Vorzeichen

Beschreibung des Globalverlaufs

Der Globalverlauf für ganzrationale Funktionen wird folgendermaßen angegeben:

nach oben geöffnete Parabel
nach oben geöffnete Parabel

wenn x-> $\infty$, dann f(x) -> $\infty$

wenn x-> $-\infty$, dann f(x) -> $\infty$

nach unten geöffnete Parabel
nach unten geöffnete Parabel

wenn x-> $\infty$, dann f(x) -> $-\infty$

wenn x-> $-\infty$, dann f(x) -> $-\infty$

steigende kubische Funktion
steigende kubische Funktion

wenn x-> $\infty$, dann f(x) -> $\infty$

wenn x-> $-\infty$, dann f(x) -> $-\infty$

negative ungerade Funktion
negative ungerade Funktion

wenn x-> $\infty$, dann f(x) -> $-\infty$

wenn x-> $-\infty$, dann f(x) -> $\infty$

Das Wissen über das Globalverhalten wird z.B. gebraucht, um die im Video vorgestellte Abituraufgabe zu lösen.

Video: Globalverhalten

In diesem Text werden die verschiedenen Möglichkeiten des Globalverhaltens von ganzrationalen Funktionen beleuchtet. In einem Video wird auch eine Abituraufgabe zu diesem Theme berechnet.
Multiple-Choice
Gegeben ist die Funktion f(x)=$-x^5+x^3$.
Welcher Globalverlauf trifft zu?
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Kommentare zum Thema: Globalverhalten

  • Judith Frauendorf schrieb am 01.05.2014 um 19:44 Uhr
    Hallo Marie, ja das stimmt, da war leider noch ein Fehler. Vielen Dank für den Hinweis!
  • Marie Weißer schrieb am 01.05.2014 um 19:36 Uhr
    Hallo, bei der steigenden kubischen Funktion steht, dass f(x) -> -unendlich, wenn x -> +unendlich. Müsste f(x) nicht gegen +unendlich streben ?
  • Judith Frauendorf schrieb am 13.03.2014 um 08:33 Uhr
    Hallo Paul, bei der Funktion f(x)=-x^5+x^3 ist der höchste Exponent ungerade (5) und das Vorzeichen ist negativ. Es ist also eine negative ungerade Funktion (letzes Bild auf der Seite). Daher ist die richtige Lösung wenn x-> +unendlich, dann f(x)-> -unendlich wenn x-> -unendlich, dann f(x)-> +unendlich Viele Grüße
  • Paul Steinicke schrieb am 12.03.2014 um 20:16 Uhr
    Hallo, und zwar habe ich eine Frage. f(x)=x5+x3 ist doch ein negativer Exponent mit positivem Vorzeichen also wenn x-> ∞, dann f(x) -> −∞ wenn x-> −∞, dann f(x) -> −∞. Wieso ist dann bei der Frage wenn x->∞ , dann f(x) -> ∞ wenn x->−∞, dann f(x) -> −∞ die richige Lösung? Vielen Dank.
Bild von Autor Dr. Judith Frauendorf

Autor: Dr. Judith Frauendorf

Dieses Dokument Globalverhalten ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Grundlagen der Analysis (Analysis 1).

Dr. Judith Frauendorf verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
Vorstellung des Online-Kurses Grundlagen der Analysis (Analysis 1)Grundlagen der Analysis (Analysis 1)
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Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

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    Ein Kursnutzer am 03.11.2014:
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