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Wendepunkte komplexe e-Funktion

Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen
Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen / komplexe e-Funktion

Wendepunkte

a) x-Werte berechnen

Bedingung: f´´(x)=0

f(x)=$-3x³\cdot e^{-2x²+1}$
f´(x)=$e^{-2x²+1} \cdot (-9x²+12x^4)$               

Berechnung der 2. Ableitung mit der Produkt- und Kettelregel
f´´(x)=$-4x \cdot e^{-2x²+1} \cdot (-9x²+12x^4)$+$e^{-2x²+1} \cdot (-18x+48x^3)$

f´´(x)=$e^{-2x²+1} \cdot (36x^3-48x^5)$+$e^{-2x²+1} \cdot (-18x+48x^3)$

f´´(x)=$e^{-2x²+1} \cdot (36x^3-48x^5-18x+48x^3)$

f´´(x)=$e^{-2x²+1} \cdot (-48x^5+84x^3-18x)$

Nullsetzen der 2. Ableitung und nach x auflösen

0=$e^{-2x²+1} \cdot (-48x^5+84x^3-18x)$

da $e^{-2x²+1}$ niemals 0 werden kann,
müssen wir nur die Nullstellen von $(-48x^5+84x^3-18x)$ berechnen.

0=$(-48x^5+84x^3-18x)$   / x ausklammern

0=$x \cdot (-48x^4+84x^2-18)$

xW1=0

0=$(-48x^4+84x^2-18)$

Das ist eine biquadratische Funktion, d.h. hier musst du x² mit z substituieren, d.h. x² als z ersetzen.

0=-48z²+84z-18

Jetzt haben wir eine quadratische Gleichung. Um die p-q-Formel anwenden zu können, muss die Gleichung in Normalform gebracht werden.

0=-48z²+84z-18     / : -48

0=z²-1,75z+0,375     jetzt können wir die p-q-Formel anwenden

p=-1,75   q=0,375         Bestimmen von p und q (Vorzeichen nicht vergessen!)
$z_{1,2}$=-$\frac{-1,75}{2} \pm \sqrt {(\frac{1,75}{2})^2-(0,375)}$
$z_{1,2}$=0,875 $\pm \sqrt {0,765625-0,375}$
$z_{1,2}$=0,875 $\pm \sqrt {0,390625}$
$z_{1,2}$=0,875 $\pm$ 0,625
$z_{1}$=1,5
$z_{2}$=0,25

Jetzt müssen wir z wieder durch x² ersetzen (resubstituieren) und dann die Gleichung auflösen.

$x_{1}^2$=1,5
xW2=$\sqrt{1,5}$=1,22  
xW3=-$\sqrt{1,5}$=-1,22

$x_{2}^2$=0,25

xW4=$\sqrt{0,25}$=0,5 
xW5=-$\sqrt{0,25}$=-0,5

b) y-Werte berechnen

Einsetzen der Extremstellen in die Ausgangsfunktion

yW1=f(xW1)=f(0)=$-3\cdot 0^3\cdot e^{-2\cdot (0^2+1}$ =
yW1=0

yW2=f(xW2)=f($\sqrt{1,5}$)=$-3\cdot (\sqrt{1,5})^3\cdot e^{-2\cdot ((\sqrt{1,5})^2+1}$ =-0,75
yW2=-0,75

yW3=f(xE3)=f($-\sqrt{1,5}$)=$-3\cdot (-\sqrt{1,5})^3\cdot e^{-2\cdot ((-\sqrt{1,5})^2+1}$ =0,75
yW3=0,75

yW4=f(xW2)=f($\sqrt{0,25}$)=$-3\cdot (\sqrt{0,25})^3\cdot e^{-2\cdot ((\sqrt{0,25})^2+1}$ =-0,62
yW4=-0,62

yW5=f(xE3)=f($-\sqrt{0,25}$)=$-3\cdot (-\sqrt{0,25})^3\cdot e^{-2\cdot ((-\sqrt{0,25})^2+1}$ =0,62
yW5=0,62

c) Überprüfung auf LR- bzw. RL-Wendepunkte mit der 3. Ableitung

f´(x)=$e^{-2x²+1} \cdot (-9x²+12x^4)$

f´´(x)=$e^{-2x²+1} \cdot (-48x^5+84x^3-18x)$

Berechnung der 3. Ableitung mit der Produkt- und Kettelregel
f´´´(x)=$-4x \cdot e^{-2x²+1} \cdot (-48x^5+84x^3-18x)$+$e^{-2x²+1} \cdot (-240x^4+252x^2-18)$

f´´´(x)=$e^{-2x²+1} \cdot (192x^6-996x^4+72x^2)$+$e^{-2x²+1} \cdot (-240x^4+252x^2-18)$

f´´´(x)=$e^{-2x²+1} \cdot (192x^6-996x^4+72x^2-240x^4+252x^2-18)$

f´´´(x)=$e^{-2x²+1} \cdot (192x^6-576x^4+324x^2-18)$

Einsetzen der Wendestellen in die 3. Ableitung

f´´´(0)=$e^{-2 \cdot 0²+1} \cdot (192 \cdot 0^6-576 \cdot 0^4+324 \cdot 0^2-18)$
f´´´(0)=-18 < 0 -> Links-Rechts-Sattelpunkt, da auch f´(0)= 0 ist.

f´´´(1,22)=$e^{-2 \cdot 1,22²+1} \cdot (192 \cdot 1,22^6-576 \cdot 1,22^4+324 \cdot 1,22^2-18)$
f´´´(1,22)=-24,75 < 0  -> Links-Rechts-Wendepunkt

f´´´(-1,22)=$e^{-2 \cdot (-1,22)²+1} \cdot (192 \cdot (-1,22)^6-576 \cdot (-1,22)^4+324 \cdot (-1,22)^2-18)$
f´´´(-1,22)=-24,75 Links-Rechts-Wendepunkt

f´´´(0,5)=$e^{-2 \cdot 0,5²+1} \cdot (192 \cdot 0,5^6-576 \cdot 0,5^4+324 \cdot 0,5^2-18)$
f´´´(0,5)=49,46 > 0 -> Rechts-Links-Wendepunkt

f´´´(-0,5)=$e^{-2 \cdot (-0,5)²+1} \cdot (192 \cdot (-0,5)^6-576 \cdot (-0,5)^4+324 \cdot (-0,5)^2-18)$
f´´´(-0,5)=49,46 > 0 -> Rechts-Links-Wendepunkt

Ergebnis:     W1          L-R-SP (0/0)
                     W2         L-R-WP (1,22/-0,75)
                     W3         L-R-WP (-1,22/0,75) 
                     W4         R-L-WP  (0,5/-0,62)
                     W5         R-L-WP  (-0,5/0,62)

Bild von Autor Dr. Judith Frauendorf

Autor: Dr. Judith Frauendorf

Dieses Dokument Wendepunkte komplexe e-Funktion ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Grundlagen der Analysis (Analysis 1).

Dr. Judith Frauendorf verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
Vorstellung des Online-Kurses Grundlagen der Analysis (Analysis 1)Grundlagen der Analysis (Analysis 1)
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Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

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      • Einleitung zu Die graphische Ableitung
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        • Extrempunkte graphisch
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        • Einleitung zu Wendepunkte graphisch
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    • Kurvenscharen ableiten
    • Die Ableitung im Abitur - Ableitungen graphisch bestimmen
  • Grundaufgaben der Analysis
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    • Steigung berechnen bei gegebenen x-Wert
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