Wendepunkte komplexe e-Funktion
Wendepunkte
a) x-Werte berechnen
Bedingung: f´´(x)=0
f(x)=$-3x³\cdot e^{-2x²+1}$
f´(x)=$e^{-2x²+1} \cdot (-9x²+12x^4)$
Berechnung der 2. Ableitung mit der Produkt- und Kettelregel
f´´(x)=$-4x \cdot e^{-2x²+1} \cdot (-9x²+12x^4)$+$e^{-2x²+1} \cdot (-18x+48x^3)$
f´´(x)=$e^{-2x²+1} \cdot (36x^3-48x^5)$+$e^{-2x²+1} \cdot (-18x+48x^3)$
f´´(x)=$e^{-2x²+1} \cdot (36x^3-48x^5-18x+48x^3)$
f´´(x)=$e^{-2x²+1} \cdot (-48x^5+84x^3-18x)$
Nullsetzen der 2. Ableitung und nach x auflösen
0=$e^{-2x²+1} \cdot (-48x^5+84x^3-18x)$
da $e^{-2x²+1}$ niemals 0 werden kann,
müssen wir nur die Nullstellen von $(-48x^5+84x^3-18x)$ berechnen.
0=$(-48x^5+84x^3-18x)$ / x ausklammern
0=$x \cdot (-48x^4+84x^2-18)$
xW1=0
0=$(-48x^4+84x^2-18)$
Das ist eine biquadratische Funktion, d.h. hier musst du x² mit z substituieren, d.h. x² als z ersetzen.
0=-48z²+84z-18
Jetzt haben wir eine quadratische Gleichung. Um die p-q-Formel anwenden zu können, muss die Gleichung in Normalform gebracht werden.
0=-48z²+84z-18 / : -48
0=z²-1,75z+0,375 jetzt können wir die p-q-Formel anwenden
p=-1,75 q=0,375 Bestimmen von p und q (Vorzeichen nicht vergessen!)
$z_{1,2}$=-$\frac{-1,75}{2} \pm \sqrt {(\frac{1,75}{2})^2-(0,375)}$
$z_{1,2}$=0,875 $\pm \sqrt {0,765625-0,375}$
$z_{1,2}$=0,875 $\pm \sqrt {0,390625}$
$z_{1,2}$=0,875 $\pm$ 0,625
$z_{1}$=1,5
$z_{2}$=0,25
Jetzt müssen wir z wieder durch x² ersetzen (resubstituieren) und dann die Gleichung auflösen.
$x_{1}^2$=1,5
xW2=$\sqrt{1,5}$=1,22
xW3=-$\sqrt{1,5}$=-1,22
$x_{2}^2$=0,25
xW4=$\sqrt{0,25}$=0,5
xW5=-$\sqrt{0,25}$=-0,5
b) y-Werte berechnen
Einsetzen der Extremstellen in die Ausgangsfunktion
yW1=f(xW1)=f(0)=$-3\cdot 0^3\cdot e^{-2\cdot (0^2+1}$ =
yW1=0
yW2=f(xW2)=f($\sqrt{1,5}$)=$-3\cdot (\sqrt{1,5})^3\cdot e^{-2\cdot ((\sqrt{1,5})^2+1}$ =-0,75
yW2=-0,75
yW3=f(xE3)=f($-\sqrt{1,5}$)=$-3\cdot (-\sqrt{1,5})^3\cdot e^{-2\cdot ((-\sqrt{1,5})^2+1}$ =0,75
yW3=0,75
yW4=f(xW2)=f($\sqrt{0,25}$)=$-3\cdot (\sqrt{0,25})^3\cdot e^{-2\cdot ((\sqrt{0,25})^2+1}$ =-0,62
yW4=-0,62
yW5=f(xE3)=f($-\sqrt{0,25}$)=$-3\cdot (-\sqrt{0,25})^3\cdot e^{-2\cdot ((-\sqrt{0,25})^2+1}$ =0,62
yW5=0,62
c) Überprüfung auf LR- bzw. RL-Wendepunkte mit der 3. Ableitung
f´(x)=$e^{-2x²+1} \cdot (-9x²+12x^4)$
f´´(x)=$e^{-2x²+1} \cdot (-48x^5+84x^3-18x)$
Berechnung der 3. Ableitung mit der Produkt- und Kettelregel
f´´´(x)=$-4x \cdot e^{-2x²+1} \cdot (-48x^5+84x^3-18x)$+$e^{-2x²+1} \cdot (-240x^4+252x^2-18)$
f´´´(x)=$e^{-2x²+1} \cdot (192x^6-996x^4+72x^2)$+$e^{-2x²+1} \cdot (-240x^4+252x^2-18)$
f´´´(x)=$e^{-2x²+1} \cdot (192x^6-996x^4+72x^2-240x^4+252x^2-18)$
f´´´(x)=$e^{-2x²+1} \cdot (192x^6-576x^4+324x^2-18)$
Einsetzen der Wendestellen in die 3. Ableitung
f´´´(0)=$e^{-2 \cdot 0²+1} \cdot (192 \cdot 0^6-576 \cdot 0^4+324 \cdot 0^2-18)$
f´´´(0)=-18 < 0 -> Links-Rechts-Sattelpunkt, da auch f´(0)= 0 ist.
f´´´(1,22)=$e^{-2 \cdot 1,22²+1} \cdot (192 \cdot 1,22^6-576 \cdot 1,22^4+324 \cdot 1,22^2-18)$
f´´´(1,22)=-24,75 < 0 -> Links-Rechts-Wendepunkt
f´´´(-1,22)=$e^{-2 \cdot (-1,22)²+1} \cdot (192 \cdot (-1,22)^6-576 \cdot (-1,22)^4+324 \cdot (-1,22)^2-18)$
f´´´(-1,22)=-24,75 Links-Rechts-Wendepunkt
f´´´(0,5)=$e^{-2 \cdot 0,5²+1} \cdot (192 \cdot 0,5^6-576 \cdot 0,5^4+324 \cdot 0,5^2-18)$
f´´´(0,5)=49,46 > 0 -> Rechts-Links-Wendepunkt
f´´´(-0,5)=$e^{-2 \cdot (-0,5)²+1} \cdot (192 \cdot (-0,5)^6-576 \cdot (-0,5)^4+324 \cdot (-0,5)^2-18)$
f´´´(-0,5)=49,46 > 0 -> Rechts-Links-Wendepunkt
Ergebnis: W1 L-R-SP (0/0)
W2 L-R-WP (1,22/-0,75)
W3 L-R-WP (-1,22/0,75)
W4 R-L-WP (0,5/-0,62)
W5 R-L-WP (-0,5/0,62)
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