Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen
Auch bei einer e-Funktion müssen die 10 Punkte einer Funktionsuntersuchung gekonnt werden:
- Definitionsbereich
- Symmetrie
- y-Achsenabschnitt
- Nullstelle
- Extrempunkte
- Wendepunkte
- Globalverhalten
- Wertebereich
- Monotonie
- Graph
Die Ansätze zur Berechnungen sind dabei identisch zu denen der Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen.
Merke
Das Aussehen der e-Funktion unterscheidet sich vom Aussehen der ganzrationalen Funktionen, da die e-Funktionen ein asymptotisches Verhalten aufweisen. Das bedeutet, dass die Funktionswerte f(x) für große x gegen eine Grenze (Asymtote) laufen. Oft ist dies die x-Achse, aber es gibt auch Asymptoten parallel zur x-Achse.
Eigenschaften bei e-Funktionen
Diese Eigenschaft der e-Funktion macht sich beim Globalverhalten bemerkbar. Bei e-Funktionen ohne einen Bruch oder eine Summe wie z.B. $f(x)= x²\cdot e^{k\cdot x³}$ gibt es nur waagerechte Asymptoten.
Extrempunkte und Wendepunkte gibt es nur, wenn die e-Funktion mit einer ganzrationalen Funktion verknüpft ist bzw. im Exponent eine ganzrationale Funktion steht, die mindestens Grad 2 besitzt (Beispiel f(x)=$0,5\cdot e^{-x²}-1$ ,blaue Funktion oben).
Der Definitionsbereich einer e-Funktion ohne Bruch sind immer alle reellen Zahlen also D=IR.
Ganz einfache e-Funktionen der Form f(x)=$k*e^{ganzrationale Funktion}$ sind nur achsensymmetrisch, wenn im Exponent eine achsensymmetrische Funktion steht.
z.B. f(x)=2 $ \cdot e^{-3x^4-x^2}$.
Punktsymmetrisch können einfache e-Funktionen nicht sein.
e-Funktionen der Form f(x)= ganzrationale Funktion 1 $\cdot e^{ganzrationale Funktion 2}$ sind achsensymmetrisch, wenn beide ganzrationale Funktionen achsensymmetrisch sind.
z.B. f(x)=x² $\cdot e^{-3x^2-2}$.
e-Funktionen der Form f(x)= ganzrationale Funktion 1 $\cdot e^{ganzrationale Funktion 2}$ sind punktsymmetrisch, wenn die ganzrationale Funktion im Exponent achsensymmetrisch und die ganzrationale Funktion 1 punktsymmetrisch ist.
z.B. f(x)=x³ $\cdot e^{-3x^4+3}$.
Hinweis:
Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.
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