Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen
Auch bei einer e-Funktion müssen die 10 Punkte einer Funktionsuntersuchung gekonnt werden:
- Definitionsbereich
- Symmetrie
- y-Achsenabschnitt
- Nullstelle
- Extrempunkte
- Wendepunkte
- Globalverhalten
- Wertebereich
- Monotonie
- Graph
Die Ansätze zur Berechnungen sind dabei identisch zu denen der Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen.
Merke
Das Aussehen der e-Funktion unterscheidet sich vom Aussehen der ganzrationalen Funktionen, da die e-Funktionen ein asymptotisches Verhalten aufweisen. Das bedeutet, dass die Funktionswerte f(x) für große x gegen eine Grenze (Asymtote) laufen. Oft ist dies die x-Achse, aber es gibt auch Asymptoten parallel zur x-Achse.
Eigenschaften bei e-Funktionen
Diese Eigenschaft der e-Funktion macht sich beim Globalverhalten bemerkbar. Bei e-Funktionen ohne einen Bruch oder eine Summe wie z.B. $f(x)= x²\cdot e^{k\cdot x³}$ gibt es nur waagerechte Asymptoten.
Extrempunkte und Wendepunkte gibt es nur, wenn die e-Funktion mit einer ganzrationalen Funktion verknüpft ist bzw. im Exponent eine ganzrationale Funktion steht, die mindestens Grad 2 besitzt (Beispiel f(x)=$0,5\cdot e^{-x²}-1$ ,blaue Funktion oben).
Der Definitionsbereich einer e-Funktion ohne Bruch sind immer alle reellen Zahlen also D=IR.
Ganz einfache e-Funktionen der Form f(x)=$k*e^{ganzrationale Funktion}$ sind nur achsensymmetrisch, wenn im Exponent eine achsensymmetrische Funktion steht.
z.B. f(x)=2 $ \cdot e^{-3x^4-x^2}$.
Punktsymmetrisch können einfache e-Funktionen nicht sein.
e-Funktionen der Form f(x)= ganzrationale Funktion 1 $\cdot e^{ganzrationale Funktion 2}$ sind achsensymmetrisch, wenn beide ganzrationale Funktionen achsensymmetrisch sind.
z.B. f(x)=x² $\cdot e^{-3x^2-2}$.
e-Funktionen der Form f(x)= ganzrationale Funktion 1 $\cdot e^{ganzrationale Funktion 2}$ sind punktsymmetrisch, wenn die ganzrationale Funktion im Exponent achsensymmetrisch und die ganzrationale Funktion 1 punktsymmetrisch ist.
z.B. f(x)=x³ $\cdot e^{-3x^4+3}$.
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