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Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen

Auch bei einer e-Funktion müssen die 10 Punkte einer Funktionsuntersuchung gekonnt werden:

  1. Definitionsbereich
  2. Symmetrie
  3. y-Achsenabschnitt
  4. Nullstelle
  5. Extrempunkte
  6. Wendepunkte
  7. Globalverhalten
  8. Wertebereich
  9. Monotonie
  10. Graph

Die Ansätze zur Berechnungen sind dabei identisch zu denen der Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen.

Merke

Das Aussehen der e-Funktion unterscheidet sich vom Aussehen der ganzrationalen Funktionen, da die e-Funktionen ein asymptotisches Verhalten aufweisen. Das bedeutet, dass die Funktionswerte f(x) für große x gegen eine Grenze (Asymtote) laufen. Oft ist dies die x-Achse, aber es gibt auch Asymptoten parallel zur x-Achse.

Beispiele von e-Funktionen
Beispiele von e-Funktionen

Eigenschaften bei e-Funktionen

Diese Eigenschaft der e-Funktion macht sich beim Globalverhalten bemerkbar. Bei e-Funktionen ohne einen Bruch oder eine Summe wie z.B. $f(x)= x²\cdot e^{k\cdot x³}$ gibt es nur waagerechte Asymptoten.

Extrempunkte und Wendepunkte gibt es nur, wenn die e-Funktion mit einer ganzrationalen Funktion verknüpft ist bzw. im Exponent eine ganzrationale Funktion steht, die mindestens Grad 2 besitzt (Beispiel f(x)=$0,5\cdot e^{-x²}-1$ ,blaue Funktion oben).

Der Definitionsbereich einer e-Funktion ohne Bruch sind immer alle reellen Zahlen also D=IR.

Ganz einfache e-Funktionen der Form f(x)=$k*e^{ganzrationale Funktion}$ sind nur achsensymmetrisch, wenn im Exponent eine achsensymmetrische Funktion steht.
z.B. f(x)=2 $ \cdot e^{-3x^4-x^2}$.
Punktsymmetrisch können einfache e-Funktionen nicht sein.

e-Funktionen der Form f(x)= ganzrationale Funktion 1 $\cdot e^{ganzrationale Funktion 2}$ sind achsensymmetrisch, wenn beide ganzrationale Funktionen achsensymmetrisch sind.
z.B. f(x)=x² $\cdot e^{-3x^2-2}$.

e-Funktionen der Form f(x)= ganzrationale Funktion 1 $\cdot e^{ganzrationale Funktion 2}$ sind punktsymmetrisch, wenn die ganzrationale Funktion im Exponent achsensymmetrisch und die ganzrationale Funktion 1 punktsymmetrisch ist.
z.B. f(x)=x³ $\cdot e^{-3x^4+3}$.

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Autor: Dr. Judith Frauendorf

Dieses Dokument Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Grundlagen der Analysis (Analysis 1).

Dr. Judith Frauendorf verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
Vorstellung des Online-Kurses Grundlagen der Analysis (Analysis 1)Grundlagen der Analysis (Analysis 1)
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Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

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  • Gute Bewertung für Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

    Ein Kursnutzer am 03.11.2014:
    "Einfach genial! Gut und verständlich erklärt (auf den Punkt gebracht)"

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