Globalverhalten, Wertebereich, Monotonie kubische Schar
Globalverhalten
Die Funktion f(x) = -2tx³+3t²x ist eine Funktion 3. Grades. Das Globalverhalten wird vom Vorzeichen vor x³ bestimmt. Das Vorzeichen in dieser Funktion ist aber abhängig von t, daher müssen wir auch hier wieder eine Fallunterscheidung vornehmen:
für t > 0 ist die Funktion negativ daher gilt:
wenn x-> $\infty$, dann f(x) -> -$\infty$
wenn x-> $-\infty$, dann f(x) -> $\infty$
für t < 0 ist die Funktion positiv daher gilt:
wenn x-> $\infty$, dann f(x) -> -$\infty$
wenn x-> $-\infty$, dann f(x) -> $\infty$
Wertebereich
Da der höchste Exponent der Funktion ungerade ist, wird der Wertebereich weder nach unten noch nach oben beschränkt.
Ergebniss: W=IR
D. h. alle reellen Zahlen sind im Wertebereich enthalten.
Monotonie
Die Monotonie wechselt immer an den Extrempunkten. Entscheidend sind dabei die x-Werte.
Da die Extrempunkte sich bei dieser Kurvenschar in Abhängigkeit von t ändern, ändert sich auch die Monotonie in Abhängigkeit von t.
HP ( $\sqrt{\frac{1}{2}t}$ / $\sqrt{2t^5}$ ) für t > 0
TP ( -$\sqrt{\frac{1}{2}t}$ / -$\sqrt{2t^5}$ ) für t > 0
Die Monotonie kann dann folgendermaßen angegeben werden.
Für t < 0
1. sms für -$\infty <$ x $< \infty $ oder
2. sms auf Intervall ]-$\infty,\infty$[
Für t > 0
1. smf für x < $-\sqrt{\frac{1}{2}t}$, sms für $-\sqrt{\frac{1}{2}t}<$ x $< \sqrt{\frac{1}{2}t} $, smf für x > $\sqrt{\frac{1}{2}t}$ oder
2. smf auf Intervall ]-$\infty,-\sqrt{\frac{1}{2}t}$[,
sms auf Intervall ]$-\sqrt{\frac{1}{2}t},\sqrt{\frac{1}{2}t}$[,
smf auf Intervall ]$\sqrt{\frac{1}{2}t}, \infty$[
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