Ortslinie der Extrempunkte
Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung / kubische Funktionenschar
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Die Ortslinie der Extrempunkte einer Kurvenschar ergibt sich, wenn du alle Extrempunkte miteinander verbindest. Hier siehst du dazu eine Animation.
Du erkennst, dass die Ortskurve eine ungerade Funktion sein wird.
Berechnung der Ortslinie
Die Berechnung der Ortslinie der Extrempunkte erfolgt ausgehend von den Extrempunkten.
HP ( $\sqrt{\frac{1}{2}t}$ / $\sqrt{2t^5}$ )
TP ( -$\sqrt{\frac{1}{2}t}$ / -$\sqrt{2t^5}$ )
1. Umstellen der x-Werte nach t
xE1=$\sqrt{\frac{1}{2}t}$ / ²
xE1²=${\frac{1}{2}t}$ /$\cdot 2$
t=$2\cdot$ xE1²
xE2=-$\sqrt{\frac{1}{2}t}$ / ²
xE2²=${\frac{1}{2}t}$ /$\cdot 2$
t=$2\cdot$ xE2²
Die Werte für t sind identisch, da die Funktion punktsymmetrisch ist.
2. Einsetzen von t in die Ausgangsgleichung
ft(x)=-2tx³+3t²x
o(x)=$-2 \cdot (2 \cdot x^2)\cdot x^3+3\cdot (2 \cdot x^2)^2 \cdot x=-4\cdot x^5+12\cdot x^5=8\cdot x^5$
Ergebnis: Die Ortslinie der Extrempunkte hat die Gleichung o(x)=8x5
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