Ortslinien von Kurvenscharen
Ortslinien von Kurvenscharen entstehen, wenn die Extrempunkte oder die Wendepunkte einer Kurvenschar verbunden werden.
Prinzipiell gibt es vier verschiedene Fälle bei einer Kurvenschar:
- Die Kurvenschar hat keine Ortslinie (verändere a im Applet, wenn b=0).
- Die Kurvenschar hat eine Ortslinie der Form x=c, d.h. eine Parallele zur y-Achse (verändere c im Applet).
- Die Kurvenschar hat eine Ortslinie der Form y=c, d.h. eine Parallele zur x-Achse.
- Die Kurvenschar hat eine Funktion f(x) als Ortslinie (verändere b oder a, wenn b nicht 0 ist).
Berechnung der Ortslinie
Merke
Die Berechnung der Ortslinie erfolgt immer ausgehend vom Extrem- oder Wendepunkt der Kurvenschar. An den Koordinaten der Kurvenschar lässt sich auch erkennen, welcher der drei Fälle auftritt.
- weder im x- noch im y-Wert ist der Parameter enthalten ( TP (3/5))
- im x-Wert ist kein Parameter, aber im y-Wert ( HP (3/2t), die Ortslinie hat dann die Gleichung x=3.
- im y-Wert ist kein Parameter, aber im x-Wert ( WP (3t/2), die Ortslinie hat dann die Gleichung y=2.
- im x-Wert und im y-Wert ist ein Parameter (HP (4t/2t)), die Ortslinie ist dann eine Funktion und muss durch umstellen des x-Wertes nach t und Einsetzen des t´s in die Ausgangsgleichung berechnet werden.
Beispiel
Ortslinie der Extrempunkte der Schar ft(x) = -2x²+tx-1 soll berechnet werden:
Berechnung des Extrempunktes:
f´(x) = -4x+t=0 -> x = $\frac{t}{4}$, y = -2$\frac{t}{4}$²+$t \cdot \frac{t}{4}$-1 = $\frac{t²}{8}$-1 -> EP ( $\frac{t}{4}$ / $\frac{t²}{8}$-1 )
Die Berechnung der Ortslinie erfolgt immer in 2 Schritten:
- Umstellen der Extremstelle nach t.
$x = \frac{t}{4}$
t = 4x - Einsetzen des Parameters in die Ausgangsfunktion a) oder in den y-Wert b).
a) o(x) = -2x²+(4x)x-1 = -2x²+4x²-1=2x²-1
b) o(x) = $\frac{(4x)²}{8}$-1 = $\frac{16x²}{8}$-1 = 2x²-1
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