Kurvenschar Hochpunkt/Tiefpunkt
Beispiel
Extrempunkt berechnen von fa(x)=x³-ax²
fa´(x)=3x²-2ax=0
0=x(3x-2a)
xE1=0; yE1=0
xE2=$\frac{2a}{3}$; yE2= $(\frac{2a}{3})^3-k(\frac{2a}{3})²$=$\frac{8a³}{27}-\frac{4a³}{9}=\frac{8a³}{27}-\frac{12a³}{27}=-\frac{4a³}{27}$
Diese Extrempunkte müssen nicht klassifiziert werden, da alle a´s erlaubt sind.
Beispiel
Überprüfung auf Hoch/ Tiefpunkt bei Punkt (0/0)
fa´´(x)=6x-2a
fa´´(0)=6$\cdot 0$-2a=-2a
Hier muss jetzt eine Klassifizierung stattfinden, da sich für positive und negative a die Interpretation ändert.
für a > 0 fa´´(0) < 0 -> Hochpunkt
für a = 0 fa´´(0) = 0 -> Sattelpunkt
für a < 0 fa´´(0) > 0 -> Tiefpunkt
Somit ändert sich mit a zwar nicht der Punkt an sich, der bleibt bei (0/0), aber es ändert sich mit a die Art des Punktes.
Beispiel
Überprüfung auf Hoch/ Tiefpunkt bei Punkt ($\frac{2a}{3}/-\frac{4a³}{27}$)
fa´´(x)=6x-2a
fa´´($\frac{2a}{3}$)=6$\cdot \frac{2a}{3}$-2a=4a-2a=2a
Hier müss jetzt eine Klassifizierung stattfinden, da sich für positive und negative a die Interpretation ändert.
für a > 0 fa´´(0) > 0 -> Tiefpunkt
für a = 0 fa´´(0) = 0 -> Sattelpunkt
für a < 0 fa´´(0) < 0 -> Hochpunkt
Somit ändern sich mit a die Koordinaten und es ändert sich mit a die Art des Punktes.
In dem Applet siehst du nochmal die Veränderung der Extremstellen bei Veränderung von a.
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