Klassifizierung von Kurvenscharen
Bei Kurvenscharen kann eine Klassifizierung vorgenommen werden.
Was ist eine Klassifizierung?
Klassifizierung bedeutet, dass bei einem bestimmten t eine Nullstelle auftritt, bei einem anderen t keine und bei einem noch anderen t zwei Nullstellen existieren. Eine Kurvenschar kann nach ihren Nullstellen, ihren Extrempunkten oder ihren Wendepunkten klassifiziert werden. Außerdem kann es sein, dass die Klassifizierung bei der Überprüfung auf Hoch- und Tiefpunkte mit der zweiten Ableitung auftritt, d.h. das ein Punkt für ein t ein Hochpunkt und für ein anderes t ein Tiefpunkt ist.
Nicht alle Kurvenscharen müssen klassifiziert werden. Kurvenscharen müssen immer klassifiziert werden, wenn der Parameter im Nenner steht oder unter der Wurzel.
Beispiel
Nullstelle x0=2t, Schar muss nicht klassifiziert werden.
Nullstelle x0=$\frac{2}{t+1}$, Schar muss klassifiziert werden, da Nenner nicht Null werden darf.
Extremstelle xE=3t²-6, Schar muss nicht klassifiziert werden.
Extremstelle xE=$\sqrt{2-t}$, Schar muss klassifiziert werden, da unter der Wurzel keine negativen Zahlen stehen dürfen.
Wendestelle xW=5-t³, Schar muss nicht klassifiziert werden.
Wendestelle xW=-2 $\pm \sqrt {t²+9}$, Schar muss klassifiziert werden, da unter der Wurzel keine negativen Zahlen stehen dürfen.
Merke
Durch Brüche und Wurzeln bei den Nullstellen, Extremstellen oder Wendestellen sind einige t´s verboten, so dass für diese t´s keine Nullstellen, Extrempunkte oder Wendepunkte existieren, die Schar muss dann nach diesen t´s klassifiziert bzw. aufgeteilt werden.
Wie klassifiziere ich eine Funktion?
Von der Kurvenschar wird wie bei jeder anderen Funktion ersteinmal die Nullstelle, Extremstelle oder Wendestelle ausgerechnet. Der einzige Unterschied zu einer normalen Funktion besteht darin, dass das Ergebnis jetzt keine Zahl ist, sondern ein Term, der einen Parameter enthält z.B. x0=3t+2.
Steht der Parameter im Nenner oder unter der Wurzel des Termes muss die Kurvenschar klassifiziert werden.
Steht der Parameter im Nenner, werden die t´s gesucht, für die der Nenner nicht Null ist. Nur für diese t´s existiert dann die Stelle.
Steht der Parameter unter der Wurzel, werden die t´s gesucht, für die die Wurzel Null oder positiv ist. Nur für diese t´s existiert dann die Stelle.
Auf den nächsten Seiten werden dir einige Beispiele dazu gezeigt.
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