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Klassifizierung von Kurvenscharen

Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen / Besonderheiten von Kurvenscharen

Bei Kurvenscharen kann eine Klassifizierung vorgenommen werden.

Was ist eine Klassifizierung?

Klassifizierung bedeutet, dass bei einem bestimmten t eine Nullstelle auftritt, bei einem anderen t keine und bei einem noch anderen t zwei Nullstellen existieren. Eine Kurvenschar kann nach ihren Nullstellen, ihren Extrempunkten oder ihren Wendepunkten klassifiziert werden. Außerdem kann es sein, dass die Klassifizierung bei der Überprüfung auf Hoch- und Tiefpunkte mit der zweiten Ableitung auftritt, d.h. das ein Punkt für ein t ein Hochpunkt und für ein anderes t ein Tiefpunkt ist.

Nicht alle Kurvenscharen müssen klassifiziert werden. Kurvenscharen müssen immer klassifiziert werden, wenn der Parameter im Nenner steht oder unter der Wurzel.

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

Nullstelle x0=2t, Schar muss nicht klassifiziert werden.
Nullstelle x0=$\frac{2}{t+1}$, Schar muss klassifiziert werden, da Nenner nicht Null werden darf.

Extremstelle xE=3t²-6, Schar muss nicht klassifiziert werden.
Extremstelle xE=$\sqrt{2-t}$, Schar muss klassifiziert werden, da unter der Wurzel keine negativen Zahlen stehen dürfen.

Wendestelle xW=5-t³, Schar muss nicht klassifiziert werden.
Wendestelle xW=-2 $\pm \sqrt {t²+9}$, Schar muss klassifiziert werden, da unter der Wurzel keine negativen Zahlen stehen dürfen.

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

Durch Brüche und Wurzeln bei den Nullstellen, Extremstellen oder Wendestellen sind einige t´s verboten, so dass für diese t´s keine Nullstellen, Extrempunkte oder Wendepunkte existieren, die Schar muss dann nach diesen t´s klassifiziert bzw. aufgeteilt werden.

Wie klassifiziere ich eine Funktion?

Von der Kurvenschar wird wie bei jeder anderen Funktion ersteinmal die Nullstelle, Extremstelle oder Wendestelle ausgerechnet. Der einzige Unterschied zu einer normalen Funktion besteht darin, dass das Ergebnis jetzt keine Zahl ist, sondern ein Term, der einen Parameter enthält z.B. x0=3t+2.

Steht der Parameter im Nenner oder unter der Wurzel des Termes muss die Kurvenschar klassifiziert werden.

Steht der Parameter im Nenner, werden die t´s gesucht, für die der Nenner nicht Null ist. Nur für diese t´s existiert dann die Stelle.

Steht der Parameter unter der Wurzel, werden die t´s gesucht, für die die Wurzel Null oder positiv ist. Nur für diese t´s existiert dann die Stelle.

Auf den nächsten Seiten werden dir einige Beispiele dazu gezeigt.

Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Einleitung Analysis I
    • Einleitung zu Einleitung Analysis I
  • Verständnis der Ableitung
    • Einleitung zu Verständnis der Ableitung
    • Was ist die Ableitung?
    • Die graphische Ableitung
      • Einleitung zu Die graphische Ableitung
      • Punkte mit waagerechter Tangente
        • Einleitung zu Punkte mit waagerechter Tangente
        • Extrempunkte graphisch
        • Sattelpunkte
      • Wendepunkte graphisch
        • Einleitung zu Wendepunkte graphisch
        • Rechts-Links-Wendepunkt graphisch ableiten
        • Links-Rechts-Wendepunkt graphisch ableiten
      • Vergleich der Wendepunkte
      • Graphen ableiten
  • Ableiten
    • Einleitung zu Ableiten
    • Ableitungsregeln
      • Einleitung zu Ableitungsregeln
      • Potenzregel
      • Faktorregel
      • Summenregel
      • Produktregel
      • Quotientenregel
      • Kettenregel
      • Komplexe Funktionen ableiten
      • Sinus, Cosinus, e-Funktion und Logarithmus ableiten
    • Kurvenscharen ableiten
    • Die Ableitung im Abitur - Ableitungen graphisch bestimmen
  • Grundaufgaben der Analysis
    • Einleitung zu Grundaufgaben der Analysis
    • y-Wert berechnen
    • x-Wert berechnen
    • Steigung berechnen bei gegebenen x-Wert
    • Punkt zu einer gegebenen Steigung berechnen
  • Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1
    • Einleitung zu Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1
    • Definitionsbereich
    • Symmetrie
    • Schnittpunkte mit den Achsen
      • Einleitung zu Schnittpunkte mit den Achsen
      • y-Achsenabschnitt
      • Nullstellen
      • Klassifizierung der Nullstellen
    • Extrempunkte
      • Einleitung zu Extrempunkte
      • Bedingungen für Extrempunkte
      • Berechnung der Extrempunkte
    • Wendepunkte
      • Einleitung zu Wendepunkte
      • Bedingungen für Wendepunkte
      • Berechnung von Wendepunkten
  • Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2
    • Einleitung zu Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2
    • Globalverhalten
    • Wertebereich
    • Monotonie
    • Graph
    • Funktionsuntersuchung einer quadratischen Funktion
    • Funktionsuntersuchung im Abitur
  • Einführung in die Integralrechnung
    • Einleitung zu Einführung in die Integralrechnung
    • Von der Summe zum Integral
    • Die Stammfunktion und das unbestimmte Integral
    • Integrationsregeln
      • Einleitung zu Integrationsregeln
      • Potenzregel der Integration
      • lineare Substitution
    • Der Hauptsatz der Integral- und Differenzialrechung
    • Das bestimmte Integral
  • Integralrechnung - graphisches Integrieren
    • Einleitung zu Integralrechnung - graphisches Integrieren
    • graphisches Integrieren
    • Flächenberechnung
      • Einleitung zu Flächenberechnung
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      • Fläche zwischen zwei Graphen
    • Die Integralrechung im Abitur
  • Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen
    • Einleitung zu Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen
    • Besonderheiten von Kurvenscharen
      • Einleitung zu Besonderheiten von Kurvenscharen
      • Klassifizierung von Kurvenscharen
        • Einleitung zu Klassifizierung von Kurvenscharen
        • Kurvenschar Bruch
        • Kurvenschar Wurzel 1
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        • Kurvenschar Hochpunkt/Tiefpunkt
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    • Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung
      • Einleitung zu Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung
      • kubische Funktionenschar
        • Einleitung zu kubische Funktionenschar
        • Definitionsbereich und Symmetrie kubische Schar
        • Schnittpunkte mit den Achsen kubische Schar
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    • Einleitung zu Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen
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