Tangenten- und Normalengleichungen
Sowohl die Tangentengleichungen als auch die Normalengleichung lassen sich durch verschiedene Algorithmen bestimmen. Dazu ist wichtig zu wissen, dass die Gleichung einer Geraden durch $g(x)=m x + n$ definiert wird. Tangenten und Normalen sind ja Geraden. Außerdem muss du wissen, dass die Steigung an einer Stelle durch die Ableitung an einer Stelle berechnet werden kann und das Tangente und Normale senkrecht aufeinander stehen.
Merke
Steigung an der Stelle $x_0$ = Ableitung an der Stelle $x_0$
$m=f^\prime(x_0)$
Merke
Tangente und Normale stehen senktrecht aufeinander (sind orthogonal), so dass das Produkt ihrer Steigungen $-1$ ist, d.h.
$m_T \cdot m_N=-1$ oder
$m_N=-\frac{1}{m_T}$
Methode
Gegeben ist eine Stelle $x_0$ und eine Funktion f.
- Berechne $y_0=f(x_0)$ und $f^\prime(x_0)$.
- Ist die Tangente gesucht gehe zu 3. , ist die Normale gesucht gehe zu 4.
- Setze $m_T=f^\prime(x_0)$ und gehe zu 5.
- Setze $m_N=\frac{-1}{f^\prime(x_0)}$ und gehe zu 5.
- Setze $n= y_0 - m x_0$.
- Die gesuchte Gerade g ist durch $g(x) = m x + n$ gegeben.
Berechnung der Tangenten- und Normalengleichung
Beispiel
$f(x)=-2x^3+2x$
Aufgabe: Berechne die Tangenten- und die Normalengleichung an der Stelle $x_0=0,7$
- Berechne $y_0=f(x_0)$ und $f^\prime(x_0)$.
$y_0=f(0,7)=-2\cdot0,7^3+2\cdot0,7=-0,94$
$f^\prime(x)=-6x^2+2$ und damit ist $f^\prime(0,7)=-6\cdot 0,7^2+2=0,714$ - Ist die Tangente gesucht gehe zu 3. , ist die Normale gesucht gehe zu 4.
- Setze $m_T=f^\prime(x_0)=0,714$ und gehe zu 5.
- Setze $m_N=\frac{-1}{f^\prime(x_0)}=\frac{-1}{0,714}=-1,06$ und gehe zu 5.
- für Tangente: Setze $n= y_0 - m_T x_0=-0,94-0,714 \cdot 0,7=1,372$.
für Normale: Setze $n= y_0 - m_N x_0=-0,94-(-1,06) \cdot 0,7=-0,028$. - Die gesuchte Gerade g ist durch $g(x) = m x + n$ gegeben.
für Tangente: t(x)=-0,94x+1,372
für Normale: n(x)=1,06x-0,028
Alternative Methode zur Berechnung
In dem folgenden Video wird eine zweite Methode zum Berechnen der Tangenten- und Normalengleichung vorgestellt.
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