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Tangenten- und Normalengleichungen

Sowohl die Tangentengleichungen als auch die Normalengleichung lassen sich durch verschiedene Algorithmen bestimmen. Dazu ist wichtig zu wissen, dass die Gleichung einer Geraden durch  $g(x)=m x + n$ definiert wird. Tangenten und Normalen sind ja Geraden. Außerdem muss du wissen, dass die Steigung an einer Stelle durch die Ableitung an einer Stelle berechnet werden kann und das Tangente und Normale senkrecht aufeinander stehen.

Merke

Steigung an der Stelle $x_0$ = Ableitung an der Stelle $x_0$

$m=f^\prime(x_0)$

Merke

Tangente und Normale stehen senktrecht aufeinander (sind orthogonal), so dass das Produkt ihrer Steigungen $-1$ ist, d.h.

$m_T \cdot m_N=-1$ oder

$m_N=-\frac{1}{m_T}$

Methode

Gegeben ist eine Stelle $x_0$ und eine Funktion f.

  1. Berechne $y_0=f(x_0)$ und $f^\prime(x_0)$.
  2. Ist die Tangente gesucht gehe zu 3. , ist die Normale gesucht gehe zu 4.
  3. Setze $m_T=f^\prime(x_0)$ und gehe zu 5.
  4. Setze $m_N=\frac{-1}{f^\prime(x_0)}$ und gehe zu 5.
  5. Setze $n= y_0 - m x_0$.
  6. Die gesuchte Gerade g ist durch $g(x) = m x + n$ gegeben.

Berechnung der Tangenten- und Normalengleichung

Beispiel

$f(x)=-2x^3+2x$

Aufgabe: Berechne die Tangenten- und die Normalengleichung an der Stelle $x_0=0,7$

  1. Berechne $y_0=f(x_0)$ und $f^\prime(x_0)$.
    $y_0=f(0,7)=-2\cdot0,7^3+2\cdot0,7=-0,94$
    $f^\prime(x)=-6x^2+2$ und damit ist $f^\prime(0,7)=-6\cdot 0,7^2+2=0,714$
  2. Ist die Tangente gesucht gehe zu 3. , ist die Normale gesucht gehe zu 4.
  3. Setze $m_T=f^\prime(x_0)=0,714$ und gehe zu 5.
  4. Setze $m_N=\frac{-1}{f^\prime(x_0)}=\frac{-1}{0,714}=-1,06$ und gehe zu 5.
  5. für Tangente: Setze $n= y_0 - m_T x_0=-0,94-0,714 \cdot 0,7=1,372$.
    für Normale:   Setze $n= y_0 - m_N x_0=-0,94-(-1,06) \cdot 0,7=-0,028$.
  6. Die gesuchte Gerade g ist durch $g(x) = m x + n$ gegeben.
    für Tangente: t(x)=-0,94x+1,372
    für Normale:   n(x)=1,06x-0,028

Alternative Methode zur Berechnung

In dem folgenden Video wird eine zweite Methode zum Berechnen der Tangenten- und Normalengleichung vorgestellt.

Video: Tangenten- und Normalengleichungen

Hier wird an einem Beispiel erläutert, wie die Tangenten und die Normalengleichung berechnet wird. Zusätzlich gibt es noch ein Video.
Multiple-Choice
Wie wird die Steigung der Tangente $m_T$ an der Stelle x=3 berechnet?
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Kommentare zum Thema: Tangenten- und Normalengleichungen

  • Judith Frauendorf schrieb am 05.05.2014 um 11:02 Uhr
    Hallo Martin, vielen Dank für den Hinweis. Ich habe es geändert. Viele Grüße
  • Martin Ditzel schrieb am 03.05.2014 um 16:23 Uhr
    Gegeben Stelle hier: x= - 3 Antwortmöglichkeit 2: Rechtschreibfehler bei Stigung (anstatt Steigung) und Fehler der Stelle x=3 (anstatt - 3) Antwortmöglichkeit 4: auch Fehler der Stelle x=3 (anstatt -3)
Bild von Autor Dr. Judith Frauendorf

Autor: Dr. Judith Frauendorf

Dieses Dokument Tangenten- und Normalengleichungen ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2).

Dr. Judith Frauendorf verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
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