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in Mathematik

Im Kurspaket Mathematik erwarten Dich:
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  • original Abituraufgaben

Vorgehen bei Steckbriefaufgaben

Differentialrechnung / Bestimmen von Funktionsgleichungen / Steckbriefaufgaben

Bedingungen in einer Steckbriefaufgabe können z.B. sein:

  • Die Funktion soll einen Hochpunkt bei (2/-1) und eine Nullstelle bei x=0 haben.
  • Die Funktion soll einen Wendepunkt bei (0/2) haben und am Punkt (3/5) die Steigung -2.
  • Die Funktion soll an der Stelle x=3 die Steigung -1 haben und die Nullstelle bei x=3 hat.
  • Die Funktion an der Stelle x=1 einen Sattelpunkt hat und am Punkt (3/2) eine waagerechte Tangente.

Anhand der Anzahl der aus den Aufgabenstellungen aufgestellten Bedingungen ergibt sich der Grad der Funktion, wenn die Funktionsgleichung nicht gegeben ist.

Merke

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Der Grad der Funktion ist immer eins weniger als die Anzahl der Bedingungen.

z.B. 5 Bedingungen -> Funktion 4. Grades

Aufstellen der Bedingungen

Zu jeder im Text formulierten Bedingung gibt es eine oder zwei mathematische Bedingungen. Alle vorkommenden Möglichkeiten sind in der Tabelle aufgelistet.

Bedingungstextmathematische Bedingung
Hochpunkt bei (2/-1)f´(2)=0 und f(2)=-1
Wendepunkt bei (0/2)f´´(0)=0 und f(0)=2
Punkt (3/5)f(3)=5
Steigung bei x=1 ist -1f´(1)=-1
Nullstelle bei x=3f(3)=0
Sattelpunkt bei x=-1f´(-1)=0 und f´´(-1)=0
waagerechte Tangente bei (3/2)f´(3)=0 und f(3)=5

Aufstellen der Funktionsgleichung und der 1. und 2. Ableitung

Entweder wird die Funktionsgleichung in der Aufgabenstellung gegeben oder der Grad der Funktionsgleichung wird anhand der Anzahl der Bedingungen aufgestellt.

Beispiel

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Ermitteln Sie eine Funktion 4. Grades der Form $f(x)=ax^4+bx^2+c$, die einen Wendepunkt bei  (2/4) besitzt und an der Stelle 1 eine Steigung von 11 hat.

Hier ist die Funktionsgleichung gegeben und die 1. und 2. Ableitung müssen noch aufgestellt werden.

$f(x)=ax^4+bx^2+c$

$f´(x)=4ax^3+2bx$

$f´´(x)=12ax^2+2b$

Beispiel

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Die Funktion an der Stelle x=1 einen Sattelpunkt hat und am Punkt (3/2) eine waagerechte Tangente.

Für diese Funktion müssen die gegebenen Bedingungen aufgestellt werden:

Sattelpunkt bei x=-1                 ->    f´(-1)=0 und f´´(-1)=0

waagerechte Tangente bei (3/2) ->    f´(3)=0 und f(3)=5

Es gibt also 4 Bedingungen, so dass eine Funktion 3. Grades aufgestellt werden muss.

$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$

$f´(x)=3ax^2+2bx+c$

$f´´(x)=6ax+2b$

Aufstellen der Bedingungsgleichungen und Lösen des LGS

Genau wie bei der Trassierung müssen nun aus den Bedingungen und der Funktionsgleichung und deren Ableitungen die Bedingungsgleichungen aufgestellt werden.

Sind die Bedingungsgleichungen aufgestellt ergibt sich wieder ein lineares Gleichungssystem, welches per Hand oder mit dem Taschenrechner gelöst wird.

Die gefundenen Parameter werden dann in die Funktionsgleichung eingesetzt.

Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Einleitung zur weiterführenden Analysis
    • Einleitung zu Einleitung zur weiterführenden Analysis
  • Funktionsklassen
    • Einleitung zu Funktionsklassen
    • Logarithmusfunktionen
    • gebrochenrationale Funktionen
      • Einleitung zu gebrochenrationale Funktionen
      • senkrechte Asymptoten - Definitionsbereich
      • waagerechte und schiefe Asymptoten
  • Differentialrechnung
    • Einleitung zu Differentialrechnung
    • Tangenten- und Normalengleichungen
    • Extremwertaufgaben (Optimierung)
    • Bestimmen von Funktionsgleichungen
      • Einleitung zu Bestimmen von Funktionsgleichungen
      • Regression und Interplolation
      • Trassierung
        • Einleitung zu Trassierung
        • Begriffe der Trassierung
        • Vorgehen bei der Trassierung
        • Beispiel einer Trassierung
      • Steckbriefaufgaben
        • Einleitung zu Steckbriefaufgaben
        • Vorgehen bei Steckbriefaufgaben
        • 1. Beispiel einer Steckbriefaufgabe
        • 2. Beispiel einer Steckbriefaufgabe
  • Integralrechnung
    • Einleitung zu Integralrechnung
    • partielle Integration
    • Integration durch Substitution
    • Rotationsvolumen
  • Wachstums- und Zerfallsprozesse
    • Einleitung zu Wachstums- und Zerfallsprozesse
    • lineares Wachstum
    • exponentielles Wachstum
    • beschränktes Wachstum
      • Einleitung zu beschränktes Wachstum
      • Abituraufgabe zum Newtonschen Abkühlungsgesetz
        • Einleitung zu Abituraufgabe zum Newtonschen Abkühlungsgesetz
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: y-Wert berechnen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: x-Wert bestimmen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Ungleichung lösen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Abkühlungsfaktor berechnen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Ableitung einer e-Funktion
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Gleichung beweisen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Ableitung der Abkühlungsfunktion
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Integral berechnen
    • Logistisches Wachstum
      • Einleitung zu Logistisches Wachstum
      • Aufgabe zum logistischen Wachstum
      • Logistisches Wachstum - Differentialgleichung
      • Logistisches Wachstum - Wachstum Fichtenumfang berechnen
      • Logistisches Wachstum - Approximation
  • Aufgaben ohne Hilfsmittel im Abitur
    • Einleitung zu Aufgaben ohne Hilfsmittel im Abitur
    • Anzahl von Wendepunkten bestimmen
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