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Vorgehen bei Steckbriefaufgaben

Differentialrechnung
Bestimmen von Funktionsgleichungen / Steckbriefaufgaben

Bedingungen in einer Steckbriefaufgabe können z.B. sein:

  • Die Funktion soll einen Hochpunkt bei (2/-1) und eine Nullstelle bei x=0 haben.
  • Die Funktion soll einen Wendepunkt bei (0/2) haben und am Punkt (3/5) die Steigung -2.
  • Die Funktion soll an der Stelle x=3 die Steigung -1 haben und die Nullstelle bei x=3 hat.
  • Die Funktion an der Stelle x=1 einen Sattelpunkt hat und am Punkt (3/2) eine waagerechte Tangente.

Anhand der Anzahl der aus den Aufgabenstellungen aufgestellten Bedingungen ergibt sich der Grad der Funktion, wenn die Funktionsgleichung nicht gegeben ist.

Merke

Der Grad der Funktion ist immer eins weniger als die Anzahl der Bedingungen.

z.B. 5 Bedingungen -> Funktion 4. Grades

Aufstellen der Bedingungen

Zu jeder im Text formulierten Bedingung gibt es eine oder zwei mathematische Bedingungen. Alle vorkommenden Möglichkeiten sind in der Tabelle aufgelistet.

Bedingungstext mathematische Bedingung
Hochpunkt bei (2/-1) f´(2)=0 und f(2)=-1
Wendepunkt bei (0/2) f´´(0)=0 und f(0)=2
Punkt (3/5) f(3)=5
Steigung bei x=1 ist -1 f´(1)=-1
Nullstelle bei x=3 f(3)=0
Sattelpunkt bei x=-1 f´(-1)=0 und f´´(-1)=0
waagerechte Tangente bei (3/2) f´(3)=0 und f(3)=5

Aufstellen der Funktionsgleichung und der 1. und 2. Ableitung

Entweder wird die Funktionsgleichung in der Aufgabenstellung gegeben oder der Grad der Funktionsgleichung wird anhand der Anzahl der Bedingungen aufgestellt.

Beispiel

Ermitteln Sie eine Funktion 4. Grades der Form $f(x)=ax^4+bx^2+c$, die einen Wendepunkt bei  (2/4) besitzt und an der Stelle 1 eine Steigung von 11 hat.

Hier ist die Funktionsgleichung gegeben und die 1. und 2. Ableitung müssen noch aufgestellt werden.

$f(x)=ax^4+bx^2+c$

$f´(x)=4ax^3+2bx$

$f´´(x)=12ax^2+2b$

Beispiel

Die Funktion an der Stelle x=1 einen Sattelpunkt hat und am Punkt (3/2) eine waagerechte Tangente.

Für diese Funktion müssen die gegebenen Bedingungen aufgestellt werden:

Sattelpunkt bei x=-1                 ->    f´(-1)=0 und f´´(-1)=0

waagerechte Tangente bei (3/2) ->    f´(3)=0 und f(3)=5

Es gibt also 4 Bedingungen, so dass eine Funktion 3. Grades aufgestellt werden muss.

$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$

$f´(x)=3ax^2+2bx+c$

$f´´(x)=6ax+2b$

Aufstellen der Bedingungsgleichungen und Lösen des LGS

Genau wie bei der Trassierung müssen nun aus den Bedingungen und der Funktionsgleichung und deren Ableitungen die Bedingungsgleichungen aufgestellt werden.

Sind die Bedingungsgleichungen aufgestellt ergibt sich wieder ein lineares Gleichungssystem, welches per Hand oder mit dem Taschenrechner gelöst wird.

Die gefundenen Parameter werden dann in die Funktionsgleichung eingesetzt.

Multiple-Choice
Wie lautet die Bedingung, wenn die Steigung an der Stelle x=-3 5 ist?
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Kommentare zum Thema: Vorgehen bei Steckbriefaufgaben

  • Judith Frauendorf schrieb am 28.04.2014 um 11:30 Uhr
    Liebe Hanna, ja du hast recht, habe es geändert. Viele Grüße Judith Frauendorf
  • Hanna Rulf schrieb am 28.04.2014 um 09:53 Uhr
    Muss in der Tabelle, beim Wendepunkt nicht f"(0)=0 und f(0)=2 hinkommen, wenn der Punkt (0/2) lautet?
Bild von Autor Dr. Judith Frauendorf

Autor: Dr. Judith Frauendorf

Dieses Dokument Vorgehen bei Steckbriefaufgaben ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2).

Dr. Judith Frauendorf verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
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Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)

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