Logistisches Wachstum - Approximation

Lösungsskizze

Hier werden drei mögliche Lösungsvarianten in Kurzform beschrieben.

Lösungsvariante 1:

• Approximation mittels GTR.
• Eingabe der gegebenen Daten, grafische Darstellung der Daten.
• Festlegung einer Approximationsfunktion aus mehreren Möglichkeiten (ganzrationale Funktion ersten, zweiten, dritten oder vierten Grades; Logarithmus-; Exponential-; Potenzfunktion).
• Durchführung der Approximation
• grafische Darstellung der Approximationsfunktion in der Darstellung der Daten
• bei größeren Abweichungen Approximation durch einen anderen Funktionstyp.

Mögliches Ergebnis:

$ d_2 (t) = -5,03 \cdot 10^{-7} \cdot t^3 + 1,14 \cdot 10^{-4} \cdot t^2 + 1,87 \cdot 10^{-4} \cdot t + 0,05 $

Lösungsvariante 2:

• Approximation durch eine abschnittweise definierte Funktion.
• Festlegung der Anzahl der Abschnitte und ihrer Intervalle, z.B. zwei Abschnitte für die Intervalle $ 0 \le t < 80 $ bzw. $ 80 \le t \le 160 $.
• Festlegung der Funktionstypen für die Abschnitte, z.B. zwei Exponentialfunktionen für das Modell des exponentiellen bzw. begrenzten Wachstums

Ansatz:

$ d_2 (t) =   \begin{cases} {a_1 \cdot e^{a \cdot 2 \cdot t}  \hspace{25pt} für \hspace{5pt} 0 \le t < 80} \\ {1 - b_1 \cdot e^{b \cdot 2 \cdot t} \hspace{25pt} für \hspace{5pt} 80 \le t \le 160} \end{cases} $

• Festlegung von Bedingungen zur Bestimmung der Koeffizienten für die einzelnen Abschnitte (dabei Sicherung der Stetigkeit und Differenzierbarkeit an der Übergangsstelle).
• Bestimmung der Koeffizienten, grafische Veranschaulichung.

Mögliches Ergebnis:

$ d_2 (t) = \begin{cases} {0,05 \cdot e^{0,0297 \cdot t} \hspace{25pt} für \hspace{5pt} 0 \le t < 80} \\ {1 - 2,61 \cdot e^{-0,0217 \cdot t} \hspace{25pt} für \hspace{5pt} 80 \le t \le 160} \end{cases} $

Lösungsvariante 3:

• Approximation durch Anpassung einer Funktion mit „passendem Graphen“.
• Auswahl einer geeigneten Funktion, z.B. Arctan-Funktion:

Ansatz:

$ d_2 (t) = a + k \cdot arctan {{t-b} \over c} $

• Festlegung von Bedingungen zur Bestimmung der Koeffizienten.
• Bestimmung der Koeffizienten, grafische Veranschaulichung.

Mögliches Ergebnis:

Anpassung des Wertebereichs und der Wendestelle, Verlauf des Gra-
phen durch den Punkt (0|0,05), Anstieg des Graphen im Punkt
(80|0,54), Verbesserung durch manuelle Anpassung

$ d_2 (t) = 0,5 + 0,38 \cdot arctan {{t-80} \over 31,8} $

Hinweis:

Wurden zusätzliche Themenbereiche behandelt, dann stehen den Schülerinnen und Schülern weitere Lösungsmöglichkeiten zur Verfügung, z.B. eine Approximation durch kubische Splines oder durch ein Bezierpolynom.

Beurteilung der Qualität der gewählten Approximation:

• Aussagen zu Abweichungen (Qualitätsmerkmal Genauigkeit);
• Grafische Veranschaulichung und Angabe eines Abweichungsmaßes;
• Vorhandensein oder Fehlen einer Modellannahme für den zu approximierenden Vorgang.

Unter Umständen auch:

• Angabe von realitätsbezogenen Gründen für Abweichungen (wachstumsfördernde oder wachstumshemmende Einflüsse durch Pflegemaßnahmen, Wetterbedingungen, Umwelteinflüsse, Schädlingsbefall usw.);
• Aussagen zu Extra- und Interpolation.