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Logistisches Wachstum - Approximation

Aufgabenstellung: Wachstum von Fichten


Fichten stellen in Deutschland mit über 40% der Gesamtwaldfläche die wichtigste Holzart dar. In einer Region wurden folgende Durchschnittswerte gemessen:

Alter des Baumes
in Jahren
0
(Setzling)
20 40 60 80 100 120 140 160
Durchmesser in m
(bei älteren Fichten gemessen
in 1,30 m Höhe)
0,05 0,10 0,22 0,33 0,54 0,75 0,83 0,91 0,95

Beispiel

d) Die zeitliche Entwicklung der Dicke der Fichten soll durch eine Funktion anderen
Typs als im Aufgabenteil a) approximiert werden.

  • Beschreibe mindestens zwei unterschiedliche Lösungsansätze in Kurzform. Einer davon sollte ausgeführt werden.
  • Beurteile die Qualität der Approximation im Vergleich mit der Approximation durch die Funktion d.

Lösungsskizze

Hier werden drei mögliche Lösungsvarianten in Kurzform beschrieben.

Lösungsvariante 1:

  • Approximation mittels GTR.
  • Eingabe der gegebenen Daten, grafische Darstellung der Daten.
  • Festlegung einer Approximationsfunktion aus mehreren Möglichkeiten (ganzrationale Funktion ersten, zweiten, dritten oder vierten Grades; Logarithmus-; Exponential-; Potenzfunktion).
  • Durchführung der Approximation
  • grafische Darstellung der Approximationsfunktion in der Darstellung der Daten
  • bei größeren Abweichungen Approximation durch einen anderen Funktionstyp.

Mögliches Ergebnis:

$ d_2 (t) = -5,03 \cdot 10^{-7} \cdot t^3 + 1,14 \cdot 10^{-4} \cdot t^2 + 1,87 \cdot 10^{-4} \cdot t + 0,05 $

Lösungsvariante 2:

  • Approximation durch eine abschnittweise definierte Funktion.
  • Festlegung der Anzahl der Abschnitte und ihrer Intervalle, z.B. zwei Abschnitte für die Intervalle $ 0 \le t < 80 $ bzw. $ 80 \le t \le 160 $.
  • Festlegung der Funktionstypen für die Abschnitte, z.B. zwei Exponentialfunktionen für das Modell des exponentiellen bzw. begrenzten Wachstums

Ansatz:

$ d_2 (t) =   \begin{cases} {a_1 \cdot e^{a \cdot 2 \cdot t}  \hspace{25pt} für \hspace{5pt} 0 \le t < 80} \\ {1 - b_1 \cdot e^{b \cdot 2 \cdot t} \hspace{25pt} für \hspace{5pt} 80 \le t \le 160} \end{cases} $

  • Festlegung von Bedingungen zur Bestimmung der Koeffizienten für die einzelnen Abschnitte (dabei Sicherung der Stetigkeit und Differenzierbarkeit an der Übergangsstelle).
  • Bestimmung der Koeffizienten, grafische Veranschaulichung.

Mögliches Ergebnis:

$ d_2 (t) = \begin{cases} {0,05 \cdot e^{0,0297 \cdot t} \hspace{25pt} für \hspace{5pt} 0 \le t < 80} \\ {1 - 2,61 \cdot e^{-0,0217 \cdot t} \hspace{25pt} für \hspace{5pt} 80 \le t \le 160} \end{cases} $

Lösungsvariante 3:

  • Approximation durch Anpassung einer Funktion mit „passendem Graphen“.
  • Auswahl einer geeigneten Funktion, z.B. Arctan-Funktion:

Ansatz:

$ d_2 (t) = a + k \cdot arctan {{t-b} \over c} $

  • Festlegung von Bedingungen zur Bestimmung der Koeffizienten.
  • Bestimmung der Koeffizienten, grafische Veranschaulichung.

Mögliches Ergebnis:

Anpassung des Wertebereichs und der Wendestelle, Verlauf des Gra-
phen durch den Punkt (0|0,05), Anstieg des Graphen im Punkt
(80|0,54), Verbesserung durch manuelle Anpassung

$ d_2 (t) = 0,5 + 0,38 \cdot arctan {{t-80} \over 31,8} $

Hinweis:

Wurden zusätzliche Themenbereiche behandelt, dann stehen den Schülerinnen und Schülern weitere Lösungsmöglichkeiten zur Verfügung, z.B. eine Approximation durch kubische Splines oder durch ein Bezierpolynom.

Beurteilung der Qualität der gewählten Approximation:

  • Aussagen zu Abweichungen (Qualitätsmerkmal Genauigkeit);
  • Grafische Veranschaulichung und Angabe eines Abweichungsmaßes;
  • Vorhandensein oder Fehlen einer Modellannahme für den zu approximierenden Vorgang.

Unter Umständen auch:

  • Angabe von realitätsbezogenen Gründen für Abweichungen (wachstumsfördernde oder wachstumshemmende Einflüsse durch Pflegemaßnahmen, Wetterbedingungen, Umwelteinflüsse, Schädlingsbefall usw.);
  • Aussagen zu Extra- und Interpolation.
Bild von Autor Dr. Judith Frauendorf

Autor: Dr. Judith Frauendorf

Dieses Dokument Logistisches Wachstum - Approximation ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2).

Dr. Judith Frauendorf verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
Vorstellung des Online-Kurses Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)
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    • Einleitung zu Funktionsklassen
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