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Logistisches Wachstum - Approximation

Wachstums- und Zerfallsprozesse / Logistisches Wachstum

Vertiefung

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Aufgabenstellung: Wachstum von Fichten


Fichten stellen in Deutschland mit über 40% der Gesamtwaldfläche die wichtigste Holzart dar. In einer Region wurden folgende Durchschnittswerte gemessen:

Alter des Baumes
in Jahren
0
(Setzling)
20406080100120140160
Durchmesser in m
(bei älteren Fichten gemessen
in 1,30 m Höhe)
0,050,100,220,330,540,750,830,910,95

Beispiel

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d) Die zeitliche Entwicklung der Dicke der Fichten soll durch eine Funktion anderen
Typs als im Aufgabenteil a) approximiert werden.

  • Beschreibe mindestens zwei unterschiedliche Lösungsansätze in Kurzform. Einer davon sollte ausgeführt werden.
  • Beurteile die Qualität der Approximation im Vergleich mit der Approximation durch die Funktion d.

Lösungsskizze

Hier werden drei mögliche Lösungsvarianten in Kurzform beschrieben.

Lösungsvariante 1:

  • Approximation mittels GTR.
  • Eingabe der gegebenen Daten, grafische Darstellung der Daten.
  • Festlegung einer Approximationsfunktion aus mehreren Möglichkeiten (ganzrationale Funktion ersten, zweiten, dritten oder vierten Grades; Logarithmus-; Exponential-; Potenzfunktion).
  • Durchführung der Approximation
  • grafische Darstellung der Approximationsfunktion in der Darstellung der Daten
  • bei größeren Abweichungen Approximation durch einen anderen Funktionstyp.

Mögliches Ergebnis:

$ d_2 (t) = -5,03 \cdot 10^{-7} \cdot t^3 + 1,14 \cdot 10^{-4} \cdot t^2 + 1,87 \cdot 10^{-4} \cdot t + 0,05 $

Lösungsvariante 2:

  • Approximation durch eine abschnittweise definierte Funktion.
  • Festlegung der Anzahl der Abschnitte und ihrer Intervalle, z.B. zwei Abschnitte für die Intervalle $ 0 \le t < 80 $ bzw. $ 80 \le t \le 160 $.
  • Festlegung der Funktionstypen für die Abschnitte, z.B. zwei Exponentialfunktionen für das Modell des exponentiellen bzw. begrenzten Wachstums

Ansatz:

$ d_2 (t) =   \begin{cases} {a_1 \cdot e^{a \cdot 2 \cdot t}  \hspace{25pt} für \hspace{5pt} 0 \le t < 80} \\ {1 - b_1 \cdot e^{b \cdot 2 \cdot t} \hspace{25pt} für \hspace{5pt} 80 \le t \le 160} \end{cases} $

  • Festlegung von Bedingungen zur Bestimmung der Koeffizienten für die einzelnen Abschnitte (dabei Sicherung der Stetigkeit und Differenzierbarkeit an der Übergangsstelle).
  • Bestimmung der Koeffizienten, grafische Veranschaulichung.

Mögliches Ergebnis:

$ d_2 (t) = \begin{cases} {0,05 \cdot e^{0,0297 \cdot t} \hspace{25pt} für \hspace{5pt} 0 \le t < 80} \\ {1 - 2,61 \cdot e^{-0,0217 \cdot t} \hspace{25pt} für \hspace{5pt} 80 \le t \le 160} \end{cases} $

Lösungsvariante 3:

  • Approximation durch Anpassung einer Funktion mit „passendem Graphen“.
  • Auswahl einer geeigneten Funktion, z.B. Arctan-Funktion:

Ansatz:

$ d_2 (t) = a + k \cdot arctan {{t-b} \over c} $

  • Festlegung von Bedingungen zur Bestimmung der Koeffizienten.
  • Bestimmung der Koeffizienten, grafische Veranschaulichung.

Mögliches Ergebnis:

Anpassung des Wertebereichs und der Wendestelle, Verlauf des Gra-
phen durch den Punkt (0|0,05), Anstieg des Graphen im Punkt
(80|0,54), Verbesserung durch manuelle Anpassung

$ d_2 (t) = 0,5 + 0,38 \cdot arctan {{t-80} \over 31,8} $

Hinweis:

Wurden zusätzliche Themenbereiche behandelt, dann stehen den Schülerinnen und Schülern weitere Lösungsmöglichkeiten zur Verfügung, z.B. eine Approximation durch kubische Splines oder durch ein Bezierpolynom.

Beurteilung der Qualität der gewählten Approximation:

  • Aussagen zu Abweichungen (Qualitätsmerkmal Genauigkeit);
  • Grafische Veranschaulichung und Angabe eines Abweichungsmaßes;
  • Vorhandensein oder Fehlen einer Modellannahme für den zu approximierenden Vorgang.

Unter Umständen auch:

  • Angabe von realitätsbezogenen Gründen für Abweichungen (wachstumsfördernde oder wachstumshemmende Einflüsse durch Pflegemaßnahmen, Wetterbedingungen, Umwelteinflüsse, Schädlingsbefall usw.);
  • Aussagen zu Extra- und Interpolation.
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Einleitung zur weiterführenden Analysis
    • Einleitung zu Einleitung zur weiterführenden Analysis
  • Funktionsklassen
    • Einleitung zu Funktionsklassen
    • Logarithmusfunktionen
    • gebrochenrationale Funktionen
      • Einleitung zu gebrochenrationale Funktionen
      • senkrechte Asymptoten - Definitionsbereich
      • waagerechte und schiefe Asymptoten
  • Differentialrechnung
    • Einleitung zu Differentialrechnung
    • Tangenten- und Normalengleichungen
    • Extremwertaufgaben (Optimierung)
    • Bestimmen von Funktionsgleichungen
      • Einleitung zu Bestimmen von Funktionsgleichungen
      • Regression und Interplolation
      • Trassierung
        • Einleitung zu Trassierung
        • Begriffe der Trassierung
        • Vorgehen bei der Trassierung
        • Beispiel einer Trassierung
      • Steckbriefaufgaben
        • Einleitung zu Steckbriefaufgaben
        • Vorgehen bei Steckbriefaufgaben
        • 1. Beispiel einer Steckbriefaufgabe
        • 2. Beispiel einer Steckbriefaufgabe
  • Integralrechnung
    • Einleitung zu Integralrechnung
    • partielle Integration
    • Integration durch Substitution
    • Rotationsvolumen
  • Wachstums- und Zerfallsprozesse
    • Einleitung zu Wachstums- und Zerfallsprozesse
    • lineares Wachstum
    • exponentielles Wachstum
    • beschränktes Wachstum
      • Einleitung zu beschränktes Wachstum
      • Abituraufgabe zum Newtonschen Abkühlungsgesetz
        • Einleitung zu Abituraufgabe zum Newtonschen Abkühlungsgesetz
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: y-Wert berechnen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: x-Wert bestimmen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Ungleichung lösen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Abkühlungsfaktor berechnen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Ableitung einer e-Funktion
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Gleichung beweisen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Ableitung der Abkühlungsfunktion
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Integral berechnen
    • Logistisches Wachstum
      • Einleitung zu Logistisches Wachstum
      • Aufgabe zum logistischen Wachstum
      • Logistisches Wachstum - Differentialgleichung
      • Logistisches Wachstum - Wachstum Fichtenumfang berechnen
      • Logistisches Wachstum - Approximation
  • Aufgaben ohne Hilfsmittel im Abitur
    • Einleitung zu Aufgaben ohne Hilfsmittel im Abitur
    • Anzahl von Wendepunkten bestimmen
  • 43
  • 2
  • 56
  • 28