Logistisches Wachstum
Merke
- Änderungsrate ~ $r \cdot u(t) \cdot (S-u(t))$
- DGL: $u^\prime(t)=r \cdot u(t) \cdot (S-u(t))$ ($k=r \cdot S$) mit Lösungsmenge $u(t) = \frac{S}{1+a e^{-k t}}$
- Folgendarstellung für $0<k<\frac{1}{S}: a_{n+1} = a_n + r a_n (S-a_n)$
Merke
Die Gleichung für logistisches Wachstum lautet:
1. Variante
$u(t)=\frac{S}{1+a e^{-k t}}$
k ist die Wachstumskonstante, S ist die Schranke, $\frac{S}{1+a}$ ist der Anfangsbestand
2. Variante
$u(t)=\frac{c \cdot S}{c+(S-c) \cdot e^{-k t}}$
k ist die Wachstumskonstante, S ist die Schranke, c ist der Anfangsbestand
Beispiel
Als Beispiel nehmen wir eine Aufgabe aus den Einheitlichen Prüfungsanforderungen in der Abiturprüfung (EPA) im Fach Mathematik für alle Bundesländer. Auf den folgenden Seiten werden alle Teilaufgaben bearbeitet.
Methode
Noch einmal der Hinweis:
Versucht zuerst die Aufgabe selber zu lösen, bevor ihr in die Lösung schaut, oder wenn das nicht klappt, dann die Lösung durchlesen und ein paar Tage später versuchen alleine zu lösen.
Die Aufgabe und die Lösungen sind den EPA´s entnommen, in denen auch noch andere Aufgaben zu finden sind.
Unten ist ein Link zu den EPAs (pdf-Datei)
Was ist eine logistische Funktion?
Ein kleiner Exkurs zur logistischen Funktion.
Vertiefung
Logistische Funktion
Die logistische Funktion, wie sie sich aus der diskreten logistischen Gleichung ergibt, beschreibt den Zusammenhang zwischen der verstreichenden Zeit und einem Wachstum, beispielsweise einer idealen Bakterienpopulation. Hierzu wird das Modell des exponentiellen Wachstums modifiziert durch eine sich mit dem Wachstum verbrauchende Ressource – die Idee dahinter ist also etwa ein Bakteriennährboden begrenzter Größe.
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