abiweb
online lernen

Die perfekte Abiturvorbereitung
in Mathematik

Im Kurspaket Mathematik erwarten Dich:
  • 195 Lernvideos
  • 414 Lerntexte
  • 598 interaktive Übungen
  • original Abituraufgaben
gratis testen

Merke

Logistisches Wachstum

  • Änderungsrate ~ $r \cdot u(t) \cdot (S-u(t))$
  • DGL: $u^\prime(t)=r \cdot u(t) \cdot (S-u(t))$ ($k=r \cdot S$) mit Lösungsmenge $u(t) = \frac{S}{1+a e^{-k t}}$
  • Folgendarstellung für $0<k<\frac{1}{S}: a_{n+1} = a_n + r a_n (S-a_n)$

Merke

Die Gleichung für logistisches Wachstum lautet:

1. Variante

$u(t)=\frac{S}{1+a e^{-k t}}$

k ist die Wachstumskonstante, S ist die Schranke, $\frac{S}{1+a}$ ist der Anfangsbestand

2. Variante

$u(t)=\frac{c \cdot S}{c+(S-c) \cdot e^{-k t}}$

k ist die Wachstumskonstante, S ist die Schranke, c ist der Anfangsbestand

Beispiel

Als Beispiel nehmen wir eine Aufgabe aus den Einheitlichen Prüfungsanforderungen in der Abiturprüfung (EPA) im Fach Mathematik für alle Bundesländer. Auf den folgenden Seiten werden alle Teilaufgaben bearbeitet. 

Methode

Noch einmal der Hinweis:
Versucht zuerst die Aufgabe selber zu lösen, bevor ihr in die Lösung schaut, oder wenn das nicht klappt, dann die Lösung durchlesen und ein paar Tage später versuchen alleine zu lösen.

Die Aufgabe und die Lösungen sind den EPA´s entnommen, in denen auch noch andere Aufgaben zu finden sind.

Unten ist ein Link zu den EPAs (pdf-Datei)

Was ist eine logistische Funktion?

Ein kleiner Exkurs zur logistischen Funktion.

Logistische Funktion

Die logistische Funktion, wie sie sich aus der diskreten logistischen Gleichung ergibt, beschreibt den Zusammenhang zwischen der verstreichenden Zeit und einem Wachstum, beispielsweise einer idealen Bakterienpopulation. Hierzu wird das Modell des exponentiellen Wachstums modifiziert durch eine sich mit dem Wachstum verbrauchende Ressource – die Idee dahinter ist also etwa ein Bakteriennährboden begrenzter Größe.

Bild von Autor Dr. Judith Frauendorf

Autor: Dr. Judith Frauendorf

Dieses Dokument Logistisches Wachstum ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2).

Dr. Judith Frauendorf verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
Vorstellung des Online-Kurses Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)

abiweb - Abitur-Vorbereitung online (abiweb.de)
Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Einleitung zur weiterführenden Analysis
    • Einleitung zu Einleitung zur weiterführenden Analysis
  • Funktionsklassen
    • Einleitung zu Funktionsklassen
    • Logarithmusfunktionen
    • gebrochenrationale Funktionen
      • Einleitung zu gebrochenrationale Funktionen
      • senkrechte Asymptoten - Definitionsbereich
      • waagerechte und schiefe Asymptoten
  • Differentialrechnung
    • Einleitung zu Differentialrechnung
    • Tangenten- und Normalengleichungen
    • Extremwertaufgaben (Optimierung)
    • Bestimmen von Funktionsgleichungen
      • Einleitung zu Bestimmen von Funktionsgleichungen
      • Regression und Interplolation
      • Trassierung
        • Einleitung zu Trassierung
        • Begriffe der Trassierung
        • Vorgehen bei der Trassierung
        • Beispiel einer Trassierung
      • Steckbriefaufgaben
        • Einleitung zu Steckbriefaufgaben
        • Vorgehen bei Steckbriefaufgaben
        • 1. Beispiel einer Steckbriefaufgabe
        • 2. Beispiel einer Steckbriefaufgabe
  • Integralrechnung
    • Einleitung zu Integralrechnung
    • partielle Integration
    • Integration durch Substitution
    • Rotationsvolumen
  • Wachstums- und Zerfallsprozesse
    • Einleitung zu Wachstums- und Zerfallsprozesse
    • lineares Wachstum
    • exponentielles Wachstum
    • beschränktes Wachstum
      • Einleitung zu beschränktes Wachstum
      • Abituraufgabe zum Newtonschen Abkühlungsgesetz
        • Einleitung zu Abituraufgabe zum Newtonschen Abkühlungsgesetz
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: y-Wert berechnen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: x-Wert bestimmen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Ungleichung lösen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Abkühlungsfaktor berechnen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Ableitung einer e-Funktion
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Gleichung beweisen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Ableitung der Abkühlungsfunktion
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Integral berechnen
    • Logistisches Wachstum
      • Einleitung zu Logistisches Wachstum
      • Aufgabe zum logistischen Wachstum
      • Logistisches Wachstum - Differentialgleichung
      • Logistisches Wachstum - Wachstum Fichtenumfang berechnen
      • Logistisches Wachstum - Approximation
  • Aufgaben ohne Hilfsmittel im Abitur
    • Einleitung zu Aufgaben ohne Hilfsmittel im Abitur
    • Anzahl von Wendepunkten bestimmen
  • 42
  • 13
  • 56
  • 12

Unsere Nutzer sagen:

  • Miriam

    Miriam

    "Ich finde abiweb.de sehr hilfreich und die Themen sehr gut erklärt!! Vielen Dank!!"
  • Jens

    Jens

    "Endlich habe ich es verstanden :) Ich schreibe morgen meine Klausur und denke, dass ich es nun kann :)"
  • Michaela

    Michaela

    "Vielen Dank:) Wäre schön wenn sich meine Lehrerin so viel Zeit für alles nehmen könnte."

NEU! Sichere dir jetzt die perfekte Prüfungsvorbereitung und spare 20% bei deiner Kursbuchung!

20% Coupon: abitur20

Zu den Online-Kursen