Logistisches Wachstum - Wachstum Fichtenumfang berechnen
Vertiefung
Aufgabenstellung: Wachstum von Fichten
Fichten stellen in Deutschland mit über 40% der Gesamtwaldfläche die wichtigste Holzart dar. In einer Region wurden folgende Durchschnittswerte gemessen:
| Alter des Baumes in Jahren | 0 (Setzling) | 20 | 40 | 60 | 80 | 100 | 120 | 140 | 160 |
| Durchmesser in m (bei älteren Fichten gemessen in 1,30 m Höhe) | 0,05 | 0,10 | 0,22 | 0,33 | 0,54 | 0,75 | 0,83 | 0,91 | 0,95 |
Beispiel
c)
Oft kennen Forstleute das Alter eines Baumes nicht. Der Umfang ist meist einfacher
zu messen als der Durchmesser. Ermitteln Sie unter Verwendung der Funktion d eine weitere Funktion, die das Alter einer Fichte in Abhängigkeit von ihrem Umfang näherungsweise beschreibt.
Lösungsskizze
Aus $ u(t) = \pi \cdot d(t) = \frac {\pi} {1 + e^{-0,04 \cdot (t - 80)}} \hspace{25pt} mit \hspace{5pt} t \ge 0 $
ergibt sich durch Umstellung
$ t(u) = 80 - 25 \cdot ln \frac {\pi - u} {u} \hspace{25pt} mit \hspace{5pt} u > 0 $
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