Logistisches Wachstum - Differentialgleichung
Vertiefung
Aufgabenstellung: Wachstum von Fichten
Fichten stellen in Deutschland mit über 40% der Gesamtwaldfläche die wichtigste Holzart dar. In einer Region wurden folgende Durchschnittswerte gemessen:
| Alter des Baumes in Jahren | 0 (Setzling) | 20 | 40 | 60 | 80 | 100 | 120 | 140 | 160 |
| Durchmesser in m (bei älteren Fichten gemessen in 1,30 m Höhe) | 0,05 | 0,10 | 0,22 | 0,33 | 0,54 | 0,75 | 0,83 | 0,91 | 0,95 |
Beispiel
b)
- Nennen Sie Annahmen, die logistischem Wachstum zu Grunde liegen.
- Stellen Sie die Differentialgleichung für die zeitliche Entwicklung der Dicke der Fichten auf unter der Annahme, dass Logistisches Wachstum vorliegt.
- Zeigen Sie, dass d diese Differentialgleichung löst.
Lösungsskizze
Momentane Änderungsrate der Dicke $ \sim $ Bestand $\cdot $ (Sättigung – Bestand):
$ d^\prime (t) = c \cdot d(t) \cdot [S - d(t)] $
Bestimmung der Sättigung: $ S = \lim_{t \to \infty} d(t) = \lim_{t \to \infty} \frac {1} {1 + e^{3,2} \cdot e^{-0,04 t}} = 1 $
Durch Einsetzen ergibt sich, dass die Differentialgleichung für $ c = 0,04 $ erfüllt wird.
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