Gleichungen durch Substitution lösen
Gleichungen höheren Grades können immer dann durch Substitution gelöst werden, wenn die Substitution, d.h. das Ersetzen, auf eine quadratische Gleichung führt.
Beispiel
$x^4+6x^2=4$
Es wird x² substituiert, d.h. ersetzt durch einen anderen Buchstaben z.B. a=x².
Die Gleichung sieht dann so aus:
a²+6a=4, diese quadratische Gleichung kann jetzt in die Normalform gebracht und mit der pq-Formel aufgelöst werden.
0=a²+6a-4
$a_{1,2}$=-3$ \pm \sqrt {(\frac{6}{2})^2-(-4)}$
$a_{1,2}$=-3$ \pm \sqrt {9+4}$
$a_{1,2}$=-3$ \pm \sqrt {13}$
$a_{1,2}$=-3$ \pm$ 3,6
$a_{1}$=-6,6
$a_{2}$=0,6
Jetzt muss wieder resubstituiert, also das Ersetzen rückgängig gemacht werden:
x²=-6,6 zu dieser Gleichung gibt es keine Lösung!
x²=0,6 - hieraus ergibt sich:
$x_1=\sqrt{0,6}=0,778$ und $x_2=-\sqrt{0,6}=-0,778$
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