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Gleichungen durch Substitution lösen

Gleichungen lösen
Gleichungen höheren Grades lösen
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Gleichungen höheren Grades können immer dann durch Substitution gelöst werden, wenn die Substitution, d.h. das Ersetzen, auf eine quadratische Gleichung führt.

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

$x^4+6x^2=4$

Es wird x² substituiert, d.h. ersetzt durch einen anderen Buchstaben z.B. a=x².

Die Gleichung sieht dann so aus:

a²+6a=4, diese quadratische Gleichung kann jetzt in die Normalform gebracht und mit der pq-Formel aufgelöst werden.

0=a²+6a-4

$a_{1,2}$=-3$ \pm \sqrt {(\frac{6}{2})^2-(-4)}$
$a_{1,2}$=-3$ \pm \sqrt {9+4}$
$a_{1,2}$=-3$ \pm \sqrt {13}$
$a_{1,2}$=-3$ \pm$ 3,6
$a_{1}$=-6,6
$a_{2}$=0,6

Jetzt muss wieder resubstituiert, also das Ersetzen rückgängig gemacht werden:

x²=-6,6 zu dieser Gleichung gibt es keine Lösung!

x²=0,6 - hieraus ergibt sich:
$x_1=\sqrt{0,6}=0,778$ und $x_2=-\sqrt{0,6}=-0,778$

Kommentare zum Thema: Gleichungen durch Substitution lösen

  • Andreas Erb schrieb am 02.02.2015 um 21:20 Uhr
    Danke für den Hinweis. Den Tippfehler habe ich beseitigt. Was die Relevanz für das Saarland-Abitur betrifft: explizit in den Anforderungen für die gymnasiale Oberstufe steht die Substitution nicht drin. Sie ist als Verfahren zur Lösung von Gleichungen dennoch sehr hilfreich (und ein bisschen "Mehr-Wissen") schadet sicher nicht ;-)
  • Philipp Boussard schrieb am 20.04.2014 um 19:29 Uhr
    Warum wird bei der Gleichung a^2+3a=4 bei der Umformung in die Normalform a^2+6a-4=0 ? Ist das Teil der Umformung oder nur ein Tippfehler? Und ist die Substitution für den Mathe Grundkurs (Saarland) relevant ?
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