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Gleichungen durch Substitution lösen

Gleichungen lösen
Gleichungen höheren Grades lösen

Gleichungen höheren Grades können immer dann durch Substitution gelöst werden, wenn die Substitution, d.h. das Ersetzen, auf eine quadratische Gleichung führt.

Beispiel

$x^4+6x^2=4$

Es wird x² substituiert, d.h. ersetzt durch einen anderen Buchstaben z.B. a=x².

Die Gleichung sieht dann so aus:

a²+6a=4, diese quadratische Gleichung kann jetzt in die Normalform gebracht und mit der pq-Formel aufgelöst werden.

0=a²+6a-4

$a_{1,2}$=-3$ \pm \sqrt {(\frac{6}{2})^2-(-4)}$
$a_{1,2}$=-3$ \pm \sqrt {9+4}$
$a_{1,2}$=-3$ \pm \sqrt {13}$
$a_{1,2}$=-3$ \pm$ 3,6
$a_{1}$=-6,6
$a_{2}$=0,6

Jetzt muss wieder resubstituiert, also das Ersetzen rückgängig gemacht werden:

x²=-6,6 zu dieser Gleichung gibt es keine Lösung!

x²=0,6 - hieraus ergibt sich:
$x_1=\sqrt{0,6}=0,778$ und $x_2=-\sqrt{0,6}=-0,778$

Kommentare zum Thema: Gleichungen durch Substitution lösen

  • Andreas Erb schrieb am 02.02.2015 um 21:20 Uhr
    Danke für den Hinweis. Den Tippfehler habe ich beseitigt. Was die Relevanz für das Saarland-Abitur betrifft: explizit in den Anforderungen für die gymnasiale Oberstufe steht die Substitution nicht drin. Sie ist als Verfahren zur Lösung von Gleichungen dennoch sehr hilfreich (und ein bisschen "Mehr-Wissen") schadet sicher nicht ;-)
  • Philipp Boussard schrieb am 20.04.2014 um 19:29 Uhr
    Warum wird bei der Gleichung a^2+3a=4 bei der Umformung in die Normalform a^2+6a-4=0 ? Ist das Teil der Umformung oder nur ein Tippfehler? Und ist die Substitution für den Mathe Grundkurs (Saarland) relevant ?
Bild von Autor Dr. Judith Frauendorf

Autor: Dr. Judith Frauendorf

Dieses Dokument Gleichungen durch Substitution lösen ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Vorkenntnisse zur Analysis.

Dr. Judith Frauendorf verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
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