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Der eindimensionale Potentialtopf

Atommodelle
Moderne Atommodelle der Quantenmechanik

Wie man sich vorstellen kann, ist die exakte mathematische Bestimmung der Wellenfunktion $\Psi$ für ein Atom eine anspruchsvolle Angelegenheit.

Wir wissen, dass ein Elektron eines Atoms einen gebundenen Zustand darstellt. Anders gesprochen ist das Elektron an das dreidimensionale Atom gebunden. Auf ähnliche Weise verhält sich ein Teilchen (Elektron), das in einem eindimensionalen Potentialtopf, oder auch Kasten genannt, eingesperrt ist.

Das Modell des eindimensionalen Potentialtopfs ist zwar eine Idealisierung, die jedoch die quantenmechanischen Ideen gut veranschaulicht und auch Anwendungen (Elektronen in gewissen Molekülen) besitzt, wie wir später sehen werden.

Ansatz für eine Wellenfunktion $\Psi(x)$

Wir suchen nach der Wellenfunktion, die das Teilchen im Kasten beschreibt.

Methode

Wir wissen, dass Wellen durch Sinus- und Kosinusfunktionen dargestellt werden können. Demnach können wir $\Psi(x)$ innerhalb des Kastens durch eine Linearkombination von $\sin(x)$ und $\cos(x)$ beschreiben

$\Psi(x)=A\sin(kx)+B\cos(kx)$.

Darin sind $A$ und $B$ noch näher zu bestimmende Konstanten und $k$ ist die sogenannte Wellenzahl.

Da das Elektron nicht aus dem Kasten gelangen kann, ist die Wellenfunktion ausserhalb des Kastens gleich Null. Insbesondere muss die Wellenfunktion am Rand verschwinden, was folgende Randbedingungen impliziert:

$1.\Psi(0)=0, \quad 2.\Psi(a)=0$

Man setzt diese Bedingungen in den obigen Ansatz ein und erhält der Reihe nach

$\Psi(0)=A\sin(0)+B\cos(0)=0 \quad \Rightarrow B=0$,

was zunächst den obigen Ansatz wesentlich vereinfacht zum Ausdruck

$\Rightarrow \Psi(x)=A\sin(kx)$.

Die zweite Bedingung setzen wir nun in diesen Ausdruck ein, was zu folgender Gleichung führt

$\Psi(a)=A\sin(ka)=0$.

Lösen wir nun diese Gleichung: Zunächst darf $A$ nicht Null sein, weil sonst die gesamte Wellenfunktion Null wäre und es damit gar kein Teilchen gäbe! Deshalb hat man

$\sin(ka)=0 \quad \Rightarrow ka=n\pi$

Dies ist ein entscheidendes Resultat, weil die Wellenzahl $k$ als Vielfaches von $\frac{\pi}{a}$ erscheint:

$k=n\frac{\pi}{a}, \quad n\neq 0$

Man beachte hierbei auch, dass $n$ nicht Null sein kann, weil sonst wieder die Wellenfunktion überall verschwindet und es überhaupt kein Teilchen im Kasten geben würde!

Multiple-Choice
Man gebe nun eine Formel für die Wellenlänge $\lambda_n$ in Abhängigkeit von der natürlichen Zahl $n$ an.
Man gehe wieder von der gleichen Situation eines Teilchens im Kasten wie zuvor aus.
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Vorstellung des Online-Kurses Atomphysik und KernphysikAtomphysik und Kernphysik
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Atomphysik und Kernphysik

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