Der eindimensionale Potentialtopf

Wir wissen, dass Wellen durch Sinus- und Kosinusfunktionen dargestellt werden können. Demnach können wir $\Psi(x)$ innerhalb des Kastens durch eine Linearkombination von $\sin(x)$ und $\cos(x)$ beschreiben

$\Psi(x)=A\sin(kx)+B\cos(kx)$.

Darin sind $A$ und $B$ noch näher zu bestimmende Konstanten und $k$ ist die sogenannte Wellenzahl.

Da das Elektron nicht aus dem Kasten gelangen kann, ist die Wellenfunktion ausserhalb des Kastens gleich Null. Insbesondere muss die Wellenfunktion am Rand verschwinden, was folgende Randbedingungen impliziert:

$1.\Psi(0)=0, \quad 2.\Psi(a)=0$

Man setzt diese Bedingungen in den obigen Ansatz ein und erhält der Reihe nach

$\Psi(0)=A\sin(0)+B\cos(0)=0 \quad \Rightarrow B=0$,

was zunächst den obigen Ansatz wesentlich vereinfacht zum Ausdruck

$\Rightarrow \Psi(x)=A\sin(kx)$.

Die zweite Bedingung setzen wir nun in diesen Ausdruck ein, was zu folgender Gleichung führt

$\Psi(a)=A\sin(ka)=0$.

Lösen wir nun diese Gleichung: Zunächst darf $A$ nicht Null sein, weil sonst die gesamte Wellenfunktion Null wäre und es damit gar kein Teilchen gäbe! Deshalb hat man

$\sin(ka)=0 \quad \Rightarrow ka=n\pi$

Dies ist ein entscheidendes Resultat, weil die Wellenzahl $k$ als Vielfaches von $\frac{\pi}{a}$ erscheint:

$k=n\frac{\pi}{a}, \quad n\neq 0$

Man beachte hierbei auch, dass $n$ nicht Null sein kann, weil sonst wieder die Wellenfunktion überall verschwindet und es überhaupt kein Teilchen im Kasten geben würde!