Quadratische Funktionen lösen
Der einfachste Typ einer quadratischen Gleichung enthält nur einen Term ax² und eine Zahl c.
Die Gleichungen können so aussehen:
- $ax²=-c$
- $0=ax²+c$ (Nullstellenberechnung)
Bei beiden Gleichungen wird zuerst einmal so umgestellt, dass x² alleine steht.
| $ax²=-c \vert :a$ | $0=ax²+c \vert -c$ |
| $-c=ax² \vert :a$ | |
| $x²=\frac{-c}{a}$ | |
Die Umkehroperation des Quadrierens ist das Wurzelziehen, daher wird nun auf beiden Seiten die Wurzel, genauer gesagt die Quadratwurzel, gezogen.
$ x²=\frac{-c}{a} / \surd$
$ x= \pm \sqrt {\frac{-c}{a}}$
$x_1=\sqrt {\frac{-c}{a}}$
$x_2=-\sqrt {\frac{-c}{a}}$
Die Lösung kann sowohl positiv $(+x)$ als auch negativ $(-x)$ sein, da das Quadrat von $(+x)²=(-x)²$.
Merke
Wie viele Lösungen es gibt, hängt von dem Wert unter der Wurzel, dem Radikanden ab.
Interpretation des Radikanden
Die Interpretation des Vorzeichens des Radikanden ist wichtig auf dem Weg zu der richtigen Lösung.
Negativer Radikand
Ist der Radikand negativ, gibt es keine Lösungen (Nullstellen), da aus negativen Zahlen keine Wurzel gezogen werden kann.
Radikand = 0
Ist der Radikand = 0, gibt es eine Lösung (Nullstelle), da die Lösungen +0 und -0 zusammenfallen. Diese Nullstelle nennt man auch doppelte Nullstelle.
Merke
Doppelte Nullstellen sind Nullstellen, die gleichzeitig ein Maximum oder Minimum sind.
Positiver Radikand
Ist der Radikand positiv, gibt es zwei Lösungen (Nullstellen) mit den oben angegebenen Lösungsformel.
Berechnung der Nullstellen
Beispiel
keine Nullstelle
$0=2x²+8 \vert-8$
$2x²=-8 \vert :2$
$x²=-4 \vert \surd$
$x=\pm \sqrt {-4}$
(Radikand negativ)
keine Lösung, d.h. keine Nullstelle, da aus einer negativen Zahl keine Wurzel gezogen werden kann.
Beispiel
eine Nullstelle
$x²=0 \vert \surd$
$x=\pm \sqrt {0}$
(Radikand null)
$x=0$ doppelte Nullstelle
Beispiel
zwei Nullstellen
$0=2x²-8 \vert +8$
$2x²=8 \vert :2$
$x²=4 \vert \surd$
$x=\pm \sqrt {4}$
(Radikand positiv)
$x=\pm2$
In folgenden Applet kannst Du die quadratische Funktion $f(x)=ax²+c$ und ihre Nullstellen erkunden.
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