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Quadratische Funktionen lösen

Gleichungen lösen
Quadratische Gleichungen lösen

Der einfachste Typ einer quadratischen Gleichung enthält nur einen Term ax² und eine Zahl c.

Die Gleichungen können so aussehen:

  • $ax²=-c$
  • $0=ax²+c$ (Nullstellenberechnung)

Bei beiden Gleichungen wird zuerst einmal so umgestellt, dass x² alleine steht.

$ax²=-c  \vert :a$ $0=ax²+c    \vert  -c$
$-c=ax²      \vert :a$
$x²=\frac{-c}{a}$

Die Umkehroperation des Quadrierens ist das Wurzelziehen, daher wird nun auf beiden Seiten die Wurzel, genauer gesagt die Quadratwurzel, gezogen.
$ x²=\frac{-c}{a}    /   \surd$   
$ x= \pm \sqrt {\frac{-c}{a}}$

$x_1=\sqrt {\frac{-c}{a}}$
$x_2=-\sqrt {\frac{-c}{a}}$

Die Lösung kann sowohl positiv $(+x)$ als auch negativ $(-x)$ sein, da das Quadrat von $(+x)²=(-x)²$.

Merke

Bei dieser Form von quadratischen Gleichung kann es keine, eine oder zwei Lösungen geben.
Wie viele Lösungen es gibt, hängt von dem Wert unter der Wurzel, dem Radikanden ab.

Interpretation des Radikanden

Die Interpretation des Vorzeichens des Radikanden ist wichtig auf dem Weg zu der richtigen Lösung.

Negativer Radikand

Quadratische Funktion ohne Nullstelle, f(x)=x²+2
Quadratische Funktion ohne Nullstelle, f(x)=x²+2

Ist der Radikand negativ, gibt es keine Lösungen (Nullstellen), da aus negativen Zahlen keine Wurzel gezogen werden kann.

Radikand = 0

Quadratische Funktion ohne Nullstelle, f(x)=x²
Quadratische Funktion mit einer Nullstelle, f(x)=x²

Ist der Radikand = 0, gibt es eine Lösung (Nullstelle), da die Lösungen +0 und -0 zusammenfallen. Diese Nullstelle nennt man auch doppelte Nullstelle.

Merke

Doppelte Nullstellen sind Nullstellen, die gleichzeitig ein Maximum oder Minimum sind.

Positiver Radikand

Quadratische Funktion ohne Nullstelle, f(x)=x²-1
Quadratische Funktion mit zwei Nullstellen, f(x)=x²-1

Ist der Radikand positiv, gibt es zwei Lösungen (Nullstellen) mit den oben angegebenen Lösungsformel. 

Berechnung der Nullstellen

Beispiel

keine Nullstelle

$0=2x²+8   \vert-8$
$2x²=-8      \vert :2$
$x²=-4        \vert  \surd$
$x=\pm \sqrt {-4}$  

(Radikand negativ)
keine Lösung, d.h. keine Nullstelle, da aus einer negativen Zahl keine Wurzel gezogen werden kann.

Beispiel

eine Nullstelle

$x²=0   \vert  \surd$
$x=\pm \sqrt {0}$      

(Radikand null)
$x=0$ doppelte Nullstelle

Beispiel

zwei Nullstellen

$0=2x²-8    \vert  +8$
$2x²=8       \vert :2$
$x²=4         \vert  \surd$
$x=\pm \sqrt {4}$

(Radikand positiv)
$x=\pm2$

In folgenden Applet kannst Du die quadratische Funktion $f(x)=ax²+c$ und ihre Nullstellen erkunden.

Bitte Box anklicken, um GeoGebra zu laden.
Multiple-Choice
Wie lautet die Lösung dieser quadratischen Gleichung 0=-3x²+9?
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Kommentare zum Thema: Quadratische Funktionen lösen

  • Judith Frauendorf schrieb am 24.06.2014 um 09:39 Uhr
    Liebe Johanna, danke für den Hinweis.
  • Johanna Neumaier schrieb am 21.06.2014 um 14:41 Uhr
    Woher kommt denn die 4 oben bei dem Lösen quadratischer Funktionen? Sowohl in der Tabelle als auch bei dem Rechenbeispiel (da verschwindet die 4 plötzlich).
  • Sven Hoberock schrieb am 24.07.2013 um 12:55 Uhr
    Liebe Svenja Dietz, vielen Dank für Deinen Hinweis zu den versehentlich vertauschten Abbildungen. Wir haben diesen Fehler sofort behoben.
  • Svenja Dietz schrieb am 23.07.2013 um 10:57 Uhr
    Die Graphen bei den Beispielen Radikant negativ und Radikant 0 müssen getauscht werden - oder? Radikant negativ = keine Nullstelle (auf dem Bild wird eine doppelte Nullstelle abgebildet) Radikant 0 = doppelte Nullstelle (auf dem Bild wird keine Nullstelle abgebildet)
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Autor: Dr. Judith Frauendorf

Dieses Dokument Quadratische Funktionen lösen ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Vorkenntnisse zur Analysis.

Dr. Judith Frauendorf verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
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