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Quadratische Funktion durch Ausklammern lösen

Gleichungen lösen / Quadratische Gleichungen lösen

Der nächst einfachere Typ einer quadratischen Gleichung enthält nur einen Term ax² und einen Term bx.
Die Gleichungen können so aussehen:

  • $ax²=-bx$
  • $0=ax²+bx$ (Nullstellenberechnung)

Hier muss man die erste Gleichung so umstellen, dass diese die Form der zweiten hat.

  1. $ax²=-bx \vert +bx$
    $0=ax²+bx$
  2. $0=ax²+bx$

Nun darf nicht einfach durch x dividiert werden, da x auch 0 sein kann und man durch 0 nicht teilen darf. Außerdem geht so die Lösung x=0 verloren.

Der nächste Schritt ist daher das Ausklammern von x.
$0=x\cdot (ax+b)$
Dieser Schritt wird auch faktorisieren genannt. Man erhält eine Gleichung in faktorisierter Form, d.h. die Gleichung besteht aus einem Produkt mit Faktoren. Wir wissen:

Merke

Hier klicken zum AusklappenDas Produkt ist immer dann Null, wenn (mindestens) einer der Faktoren Null ist.

Dieser Zusammenhang heißt auch "Satz vom Nullprodukt".

Der erste Faktor der Gleichung ist immer x, d.h wenn x=0 ist, ist auch die gesamte Gleichung Null. Damit haben wir die erste Lösung gefunden. Bei Gleichungen dieser Form ist x=0 immer eine Lösung, d.h. es gibt immer eine Lösung.

Der zweite Faktor der Gleichung ist ax-c oder bx+d. Wenn man diesen Null setzt und nach x umstellt erhält man die zweite Lösung (Nullstelle).
$0=ax+b  \vert -b$
$-b=ax     \vert :a$
$x=\frac{-b}{a}$

Merke

Hier klicken zum AusklappenBei dieser Form der quadratischen Gleichung gibt es immer zwei Lösungen (Nullstelle) $x=0$ und $x=\frac{-b}{a}$

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

Beispiel 1

$3x²=6x  \vert -6x$
$0=3x²-6x$
$0=x(3x-6)$ hier ist auch $0=3x(x-2)$ möglich
Ablesen der Lösungen:
$x_1=0$ und
$x_2=2$

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

Beispiel 2

$0=-4x²+3x$  
$0=x(-4x+3)$
$x_1=0$
Berechnung der zweiten Lösung:
$0=-4x_2+3   \vert  +4x$
$4x_2=3          \vert 4$
$x_2=\frac{3}{4}$

In folgenden Applet kannst Du die Quadratische Funktion f(x)=ax²+bx und ihre Nullstellen erkunden.

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Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Vorkenntnisse zur Analysis

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  • Gleichungen lösen
    • Einleitung zu Gleichungen lösen
    • Lineare Gleichungen lösen
    • Quadratische Gleichungen lösen
      • Einleitung zu Quadratische Gleichungen lösen
      • Quadratische Funktionen lösen
      • Quadratische Funktion durch Ausklammern lösen
      • Quadratische Funktionen mit pq-Formel und Mitternachtsformel lösen
    • Gleichungen höheren Grades lösen
      • Einleitung zu Gleichungen höheren Grades lösen
      • Gleichungen durch Ausklammern lösen
      • Gleichungen durch Substitution lösen
      • Gleichungen durch Polynomdivision lösen
    • Ungleichungen lösen
    • e-Funktionen lösen
      • Einleitung zu e-Funktionen lösen
      • e-Funktionen mittels Substitution lösen
  • Umgang mit Potenzen
    • Einleitung zu Umgang mit Potenzen
  • Lineare Gleichungssysteme lösen
    • Einleitung zu Lineare Gleichungssysteme lösen
    • Beispiel 1 Lineares Gleichungssystem
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