Quadratische Funktion durch Ausklammern lösen

Der nächst einfachere Typ einer quadratischen Gleichung enthält nur einen Term ax² und einen Term bx.
Die Gleichungen können so aussehen:

• $ax²=-bx$
• $0=ax²+bx$ (Nullstellenberechnung)

Hier muss man die erste Gleichung so umstellen, dass diese die Form der zweiten hat.

1. $ax²=-bx \vert +bx$
   $0=ax²+bx$
2. $0=ax²+bx$

Nun darf nicht einfach durch x dividiert werden, da x auch 0 sein kann und man durch 0 nicht teilen darf. Außerdem geht so die Lösung x=0 verloren.

Der nächste Schritt ist daher das Ausklammern von x.
$0=x\cdot (ax+b)$
Dieser Schritt wird auch faktorisieren genannt. Man erhält eine Gleichung in faktorisierter Form, d.h. die Gleichung besteht aus einem Produkt mit Faktoren. Wir wissen:

Dieser Zusammenhang heißt auch "Satz vom Nullprodukt".

Der erste Faktor der Gleichung ist immer x, d.h wenn x=0 ist, ist auch die gesamte Gleichung Null. Damit haben wir die erste Lösung gefunden. Bei Gleichungen dieser Form ist x=0 immer eine Lösung, d.h. es gibt immer eine Lösung.

Der zweite Faktor der Gleichung ist ax-c oder bx+d. Wenn man diesen Null setzt und nach x umstellt erhält man die zweite Lösung (Nullstelle).
$0=ax+b  \vert -b$
$-b=ax     \vert :a$
$x=\frac{-b}{a}$

In folgenden Applet kannst Du die Quadratische Funktion f(x)=ax²+bx und ihre Nullstellen erkunden.