Quadratische Funktion durch Ausklammern lösen
Quadratische Gleichungen lösen
Der nächst einfachere Typ einer quadratischen Gleichung enthält nur einen Term ax² und einen Term bx.
Die Gleichungen können so aussehen:
- $ax²=-bx$
- $0=ax²+bx$ (Nullstellenberechnung)
Hier muss man die erste Gleichung so umstellen, dass diese die Form der zweiten hat.
- $ax²=-bx \vert +bx$
$0=ax²+bx$ - $0=ax²+bx$
Nun darf nicht einfach durch x dividiert werden, da x auch 0 sein kann und man durch 0 nicht teilen darf. Außerdem geht so die Lösung x=0 verloren.
Der nächste Schritt ist daher das Ausklammern von x.
$0=x\cdot (ax+b)$
Dieser Schritt wird auch faktorisieren genannt. Man erhält eine Gleichung in faktorisierter Form, d.h. die Gleichung besteht aus einem Produkt mit Faktoren. Wir wissen:
Merke
Dieser Zusammenhang heißt auch "Satz vom Nullprodukt".
Der erste Faktor der Gleichung ist immer x, d.h wenn x=0 ist, ist auch die gesamte Gleichung Null. Damit haben wir die erste Lösung gefunden. Bei Gleichungen dieser Form ist x=0 immer eine Lösung, d.h. es gibt immer eine Lösung.
Der zweite Faktor der Gleichung ist ax-c oder bx+d. Wenn man diesen Null setzt und nach x umstellt erhält man die zweite Lösung (Nullstelle).
$0=ax+b \vert -b$
$-b=ax \vert :a$
$x=\frac{-b}{a}$
Merke
Beispiel
Beispiel 1
$3x²=6x \vert -6x$$0=3x²-6x$
$0=x(3x-6)$ hier ist auch $0=3x(x-2)$ möglich
Ablesen der Lösungen:
$x_1=0$ und
$x_2=2$
Beispiel
Beispiel 2
$0=-4x²+3x$$0=x(-4x+3)$
$x_1=0$
Berechnung der zweiten Lösung:
$0=-4x_2+3 \vert +4x$
$4x_2=3 \vert 4$
$x_2=\frac{3}{4}$
In folgenden Applet kannst Du die quadratische Funktion f(x)=ax²+bx und ihre Nullstellen erkunden.
Hinweis:
Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.
Kommentare zum Thema: Quadratische Funktion durch Ausklammern lösen
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Judith Frauendorf schrieb am 12.02.2014 um 10:17 UhrHallo Florian, vielen Dank für den Hinweis. Ich habe es gleich geändert.
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Florian schrieb am 12.02.2014 um 08:34 Uhrhttps://www.abiweb.de/mathematik-analysis-vorkenntnisse/gleichungen-loesen/quadratische-gleichungen-loesen/quadratische-funktion-durch-ausklammern-loesen.html Die Nullstelle x2=20 ist falsch und müsste =2 sein
Dieses Dokument Quadratische Funktion durch Ausklammern lösen ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Vorkenntnisse zur Analysis.
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