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Quadratische Funktion durch Ausklammern lösen

Gleichungen lösen
Quadratische Gleichungen lösen

Der nächst einfachere Typ einer quadratischen Gleichung enthält nur einen Term ax² und einen Term bx.
Die Gleichungen können so aussehen:

  • $ax²=-bx$
  • $0=ax²+bx$ (Nullstellenberechnung)

Hier muss man die erste Gleichung so umstellen, dass diese die Form der zweiten hat.

  1. $ax²=-bx \vert +bx$
    $0=ax²+bx$
  2. $0=ax²+bx$

Nun darf nicht einfach durch x dividiert werden, da x auch 0 sein kann und man durch 0 nicht teilen darf. Außerdem geht so die Lösung x=0 verloren.

Der nächste Schritt ist daher das Ausklammern von x.
$0=x\cdot (ax+b)$
Dieser Schritt wird auch faktorisieren genannt. Man erhält eine Gleichung in faktorisierter Form, d.h. die Gleichung besteht aus einem Produkt mit Faktoren. Wir wissen:

Merke

Das Produkt ist immer dann Null, wenn (mindestens) einer der Faktoren Null ist.

Dieser Zusammenhang heißt auch "Satz vom Nullprodukt".

Der erste Faktor der Gleichung ist immer x, d.h wenn x=0 ist, ist auch die gesamte Gleichung Null. Damit haben wir die erste Lösung gefunden. Bei Gleichungen dieser Form ist x=0 immer eine Lösung, d.h. es gibt immer eine Lösung.

Der zweite Faktor der Gleichung ist ax-c oder bx+d. Wenn man diesen Null setzt und nach x umstellt erhält man die zweite Lösung (Nullstelle).
$0=ax+b  \vert -b$
$-b=ax     \vert :a$
$x=\frac{-b}{a}$

Merke

Bei dieser Form der quadratischen Gleichung gibt es immer zwei Lösungen (Nullstelle) $x=0$ und $x=\frac{-b}{a}$

Beispiel

Beispiel 1

$3x²=6x  \vert -6x$
$0=3x²-6x$
$0=x(3x-6)$ hier ist auch $0=3x(x-2)$ möglich
Ablesen der Lösungen:
$x_1=0$ und
$x_2=2$

Beispiel

Beispiel 2

$0=-4x²+3x$  
$0=x(-4x+3)$
$x_1=0$
Berechnung der zweiten Lösung:
$0=-4x_2+3   \vert  +4x$
$4x_2=3          \vert 4$
$x_2=\frac{3}{4}$

In folgenden Applet kannst Du die quadratische Funktion f(x)=ax²+bx und ihre Nullstellen erkunden.

Bitte Box anklicken, um GeoGebra zu laden.
Multiple-Choice
Wie lautet die Lösung dieser quadratischen Gleichung 0=-3x²+9x?
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Kommentare zum Thema: Quadratische Funktion durch Ausklammern lösen

  • Judith Frauendorf schrieb am 12.02.2014 um 10:17 Uhr
    Hallo Florian, vielen Dank für den Hinweis. Ich habe es gleich geändert.
  • Florian schrieb am 12.02.2014 um 08:34 Uhr
    https://www.abiweb.de/mathematik-analysis-vorkenntnisse/gleichungen-loesen/quadratische-gleichungen-loesen/quadratische-funktion-durch-ausklammern-loesen.html Die Nullstelle x2=20 ist falsch und müsste =2 sein
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Autor: Dr. Judith Frauendorf

Dieses Dokument Quadratische Funktion durch Ausklammern lösen ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Vorkenntnisse zur Analysis.

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