Quadratische Funktion durch Ausklammern lösen
Der nächst einfachere Typ einer quadratischen Gleichung enthält nur einen Term ax² und einen Term bx.
Die Gleichungen können so aussehen:
- $ax²=-bx$
- $0=ax²+bx$ (Nullstellenberechnung)
Hier muss man die erste Gleichung so umstellen, dass diese die Form der zweiten hat.
- $ax²=-bx \vert +bx$
$0=ax²+bx$ - $0=ax²+bx$
Nun darf nicht einfach durch x dividiert werden, da x auch 0 sein kann und man durch 0 nicht teilen darf. Außerdem geht so die Lösung x=0 verloren.
Der nächste Schritt ist daher das Ausklammern von x.
$0=x\cdot (ax+b)$
Dieser Schritt wird auch faktorisieren genannt. Man erhält eine Gleichung in faktorisierter Form, d.h. die Gleichung besteht aus einem Produkt mit Faktoren. Wir wissen:
Merke
Dieser Zusammenhang heißt auch "Satz vom Nullprodukt".
Der erste Faktor der Gleichung ist immer x, d.h wenn x=0 ist, ist auch die gesamte Gleichung Null. Damit haben wir die erste Lösung gefunden. Bei Gleichungen dieser Form ist x=0 immer eine Lösung, d.h. es gibt immer eine Lösung.
Der zweite Faktor der Gleichung ist ax-c oder bx+d. Wenn man diesen Null setzt und nach x umstellt erhält man die zweite Lösung (Nullstelle).
$0=ax+b \vert -b$
$-b=ax \vert :a$
$x=\frac{-b}{a}$
Merke
Beispiel
Beispiel 1
$3x²=6x \vert -6x$$0=3x²-6x$
$0=x(3x-6)$ hier ist auch $0=3x(x-2)$ möglich
Ablesen der Lösungen:
$x_1=0$ und
$x_2=2$
Beispiel
Beispiel 2
$0=-4x²+3x$$0=x(-4x+3)$
$x_1=0$
Berechnung der zweiten Lösung:
$0=-4x_2+3 \vert +4x$
$4x_2=3 \vert 4$
$x_2=\frac{3}{4}$
In folgenden Applet kannst Du die Quadratische Funktion f(x)=ax²+bx und ihre Nullstellen erkunden.
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