Klassifizierung der Nullstellen
Schnittpunkte mit den Achsen
Die Nullstellen werden als erstes anhand ihres Grades klassifiziert. Der Grad ist der höchste Exponent der Funktion. Es gibt Funktionen mit ungeradem und geradem Grad. Desweiteren gibt es verschiedene Arten von Nullstellen in Abhängigkeit der Berührung mit der x-Achse (einfache, doppelte, dreifache Nullstellen).
Nullstellen bei Funktionen mit ungeradem Grad
Merke
Beispiel
Die Funktion hat den Grad 5, da 5 der höchste Exponent ist. Also hat die Funktion mindestens eine Nullstelle, da der Grad ungerade ist, und maximal 5 Nullstellen, da der Grad 5 ist.
Nullstellen bei Funktionen mit geradem Grad
Merke
Beispiel
Die Funktion hat den Grad 6 da 6 der höchste Exponent ist. Also kann die Funktion keine Nullstelle haben, da der Grad gerade ist, und maximal 6 Nullstellen, da der Grad 6 ist.
Arten von Nullstellen
Die wichtigsten drei Arten von Nullstellen sind die einfache Nullstelle, die doppelte Nullstelle und die dreifache Nullstelle. Um welche Art von Nullstelle es sich handelt, kann man sowohl im Graphen als auch in einer faktorisierten Funktionsgleichung erkennen.
Einfach Nullstellen
Eine einfache Nullstelle erkennst du an dem Vorzeichenwechsel der Funktionswerte von + nach - bzw. von - nach +.
Einfache Nullstellen treten nur bei Funktionen mit ungeradem Grad auf.
In der faktorisierten Funktionsgleichung z. B. f(x)=(x+3)$\cdot$(x²-4) treten an den Klammern kein Exponent auf. Daher sind alle Nullstellen (-3,-2,2).
Doppelte Nullstellen
Eine doppelte Nullstelle erkennst du an dem Vorzeichenwechseln von + nach + bzw. von - nach -.
Es liegt immer ein Maximum oder Minimum vor. Da bei einem Maximum oder Minimum die 1. Ableitung 0 ist, gilt bei einer doppelten Nullstelle f(x)=0=f´(x)=0.
In der faktorisierten Funktionsgleichung z. B. f(x)=(x+3)²$\cdot$(x²-4)² tritt an den Klammern der Exponent 2 auf. Daher sind alle Nullstellen (-3,-2,2) doppelte Nullstellen.
Ungerade mehrfache Nullstellen
Eine dreifache Nullstelle erkennst du an dem Vorzeichenwechsel der Funktionswerte von + nach - bzw. von - nach + und an der Existenz eines Sattelpunkt auf der x-Achse.
Da an einem Sattelpunkt die 1. und die 2. Ableitung Null ist, gilt bei einer dreifachen Nullstelle:
f(x)=0=f´(x)=0=f´´(x)=0
In der faktorisierten Funktionsgleichung z. B. f(x)=(x+3)³$\cdot$(x²-4)³ tritt an den Klammern der Exponent 3 auf. Daher sind alle Nullstellen (-3,-2,2) dreifache Nullstellen.
Merke
Hinweis:
Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.
Kommentare zum Thema: Klassifizierung der Nullstellen
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Judith Frauendorf schrieb am 31.07.2014 um 20:46 UhrHallo Leon, vielen Dank für den Hinweis.
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Léon Swiridoff schrieb am 29.07.2014 um 17:33 UhrSie haben bei "Nullstellen mit geradem Grad" einen Fehler im letzten Bildkommentar. "Quadratische Funktion mit (drei) Nullstellen" -> sollte zwei heißen.
Dieses Dokument Klassifizierung der Nullstellen ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Grundlagen der Analysis (Analysis 1).
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