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Klassifizierung der Nullstellen

Die Nullstellen werden als erstes anhand ihres Grades klassifiziert. Der Grad ist der höchste Exponent der Funktion. Es gibt Funktionen mit ungeradem und geradem Grad. Desweiteren gibt es verschiedene Arten von Nullstellen in Abhängigkeit der Berührung mit der x-Achse (einfache, doppelte, dreifache Nullstellen).

 Nullstellen bei Funktionen mit ungeradem Grad

Merke

Alle Funktionen, die einen ungeraden Grad n haben wie z. B. x³+x² oder x+2, haben mindestens eine Nullstelle, maximal n Nullstellen. D. h. der Grad der Funktion bestimmt die maximale Anzahl der Nullstellen.
Kubische Funktion mit einer Nullstelle
Kubische Funktion mit einer Nullstelle
Kubische Funktion mit einer Nullstelle
Kubische Funktion mit zwei Nullstellen
Kubische Funktion ohne Nullstelle
Kubische Funktion mit drei Nullstellen

Beispiel

f(x)=3$x^5$-4x²
Die Funktion hat den Grad 5, da 5 der höchste Exponent ist. Also hat die Funktion mindestens eine Nullstelle, da der Grad ungerade ist, und maximal 5 Nullstellen, da der Grad 5 ist.

Nullstellen bei Funktionen mit geradem Grad

Merke

Alle Funktionen, die einen geraden Grad n haben wie z. B. $x^4$+x³ oder x²+x, können keine Nullstelle haben oder maximal n Nullstellen. D. h. auch hier bestimmt der Grad der Funktion die maximale Anzahl der Nullstellen.
Quadratische Funktion ohne Nullstelle
Quadratische Funktion ohne Nullstelle
Quadratische Funktion mit einer Nullstelle
Quadratische Funktion mit einer Nullstelle
Quadratische Funktion mit drei Nullstellen
Quadratische Funktion mit zwei Nullstellen

Beispiel

f(x)=3$x^6$-4x³
Die Funktion hat den Grad 6 da 6 der höchste Exponent ist. Also kann die Funktion keine Nullstelle haben, da der Grad gerade ist, und maximal 6 Nullstellen, da der Grad 6 ist.

Arten von Nullstellen

Die wichtigsten drei Arten von Nullstellen sind die einfache Nullstelle, die doppelte Nullstelle und die dreifache Nullstelle. Um welche Art von Nullstelle es sich handelt, kann man sowohl im Graphen als auch in einer faktorisierten Funktionsgleichung erkennen.

Einfach Nullstellen

Eine einfache Nullstelle erkennst du an dem Vorzeichenwechsel der Funktionswerte von + nach - bzw. von - nach +.

Einfache Nullstelle
Einfache Nullstelle bei linearer Funktion

Einfache Nullstellen treten nur bei Funktionen mit ungeradem Grad auf.

Einfache Nullstelle bei kubischer Funktion
Einfache Nullstelle bei kubischer Funktion

In der faktorisierten Funktionsgleichung z. B. f(x)=(x+3)$\cdot$(x²-4) treten an den Klammern kein Exponent auf. Daher sind alle Nullstellen (-3,-2,2).

Doppelte Nullstellen

Eine doppelte Nullstelle erkennst du an dem Vorzeichenwechseln von + nach + bzw. von - nach -.

Einfache Nullstelle bei quadratischer Funktion
Doppelte Nullstelle bei quadratischer Funktion

Es liegt immer ein Maximum oder Minimum vor. Da bei einem Maximum oder Minimum die 1. Ableitung 0 ist, gilt bei einer doppelten Nullstelle f(x)=0=f´(x)=0.

Doppelte Nullstelle bei kubischer Funktion
Doppelte Nullstelle bei kubischer Funktion

In der faktorisierten Funktionsgleichung z. B. f(x)=(x+3)²$\cdot$(x²-4)² tritt an den Klammern der Exponent 2 auf.  Daher sind alle Nullstellen (-3,-2,2) doppelte Nullstellen.

Ungerade mehrfache Nullstellen

Eine dreifache Nullstelle erkennst du an dem Vorzeichenwechsel der Funktionswerte von + nach - bzw. von - nach + und an der Existenz eines Sattelpunkt auf der x-Achse.

Dreifache Nullstelle bei kubischer Funktion
Dreifache Nullstelle bei kubischer Funktion

Da an einem Sattelpunkt die 1. und die 2. Ableitung Null ist, gilt bei einer dreifachen Nullstelle:
f(x)=0=f´(x)=0=f´´(x)=0

Dreifache Nullstelle bei x^5
Dreifache Nullstelle bei x5

In der faktorisierten Funktionsgleichung z. B. f(x)=(x+3)³$\cdot$(x²-4)³ tritt an den Klammern der Exponent 3 auf. Daher sind alle Nullstellen (-3,-2,2) dreifache Nullstellen.

Merke

Ungerade mehrfache Nullstellen haben einen Vorzeichenwechsel von + nach - oder von - nach + (ab n=3 liegt ein Sattelpunkt vor). Gerade mehrfache Nullstellen haben ein Maximum oder ein Minimum.
Multiple-Choice
Welche Funktion hat eine doppelte Nullstelle bei 0?
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Kommentare zum Thema: Klassifizierung der Nullstellen

  • Judith Frauendorf schrieb am 31.07.2014 um 20:46 Uhr
    Hallo Leon, vielen Dank für den Hinweis.
  • Léon Swiridoff schrieb am 29.07.2014 um 17:33 Uhr
    Sie haben bei "Nullstellen mit geradem Grad" einen Fehler im letzten Bildkommentar. "Quadratische Funktion mit (drei) Nullstellen" -> sollte zwei heißen.
Bild von Autor Dr. Judith Frauendorf

Autor: Dr. Judith Frauendorf

Dieses Dokument Klassifizierung der Nullstellen ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Grundlagen der Analysis (Analysis 1).

Dr. Judith Frauendorf verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
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Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

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    • Einleitung zu Einleitung Analysis I
  • Verständnis der Ableitung
    • Einleitung zu Verständnis der Ableitung
    • Was ist die Ableitung?
    • Die graphische Ableitung
      • Einleitung zu Die graphische Ableitung
      • Punkte mit waagerechter Tangente
        • Einleitung zu Punkte mit waagerechter Tangente
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        • Einleitung zu Wendepunkte graphisch
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