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Klassifizierung der Nullstellen

Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 / Schnittpunkte mit den Achsen

Die Nullstellen werden als erstes anhand ihres Grades klassifiziert. Der Grad ist der höchste Exponent der Funktion. Es gibt Funktionen mit ungeradem und geradem Grad. Desweiteren gibt es verschiedene Arten von Nullstellen in Abhängigkeit der Berührung mit der x-Achse (einfache, doppelte, dreifache Nullstellen).

 Nullstellen bei Funktionen mit ungeradem Grad

Merke

Hier klicken zum AusklappenAlle Funktionen, die einen ungeraden Grad n haben wie z. B. x³+x² oder x+2, haben mindestens eine Nullstelle, maximal n Nullstellen. D. h. der Grad der Funktion bestimmt die maximale Anzahl der Nullstellen.
Kubische Funktion mit einer Nullstelle
Kubische Funktion mit einer Nullstelle
Kubische Funktion mit einer Nullstelle
Kubische Funktion mit zwei Nullstellen
Kubische Funktion ohne Nullstelle
Kubische Funktion mit drei Nullstellen

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappenf(x)=3$x^5$-4x²
Die Funktion hat den Grad 5, da 5 der höchste Exponent ist. Also hat die Funktion mindestens eine Nullstelle, da der Grad ungerade ist, und maximal 5 Nullstellen, da der Grad 5 ist.

Nullstellen bei Funktionen mit geradem Grad

Merke

Hier klicken zum AusklappenAlle Funktionen, die einen geraden Grad n haben wie z. B. $x^4$+x³ oder x²+x, können keine Nullstelle haben oder maximal n Nullstellen. D. h. auch hier bestimmt der Grad der Funktion die maximale Anzahl der Nullstellen.
Quadratische Funktion ohne Nullstelle
Quadratische Funktion ohne Nullstelle
Einfache Nullstelle bei quadratischer Funktion
Quadratische Funktion mit einer Nullstelle
Quadratische Funktion mit drei Nullstellen
Quadratische Funktion mit zwei Nullstellen

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappenf(x)=3$x^6$-4x³
Die Funktion hat den Grad 6 da 6 der höchste Exponent ist. Also kann die Funktion keine Nullstelle haben, da der Grad gerade ist, und maximal 6 Nullstellen, da der Grad 6 ist.

Arten von Nullstellen

Die wichtigsten drei Arten von Nullstellen sind die einfache Nullstelle, die doppelte Nullstelle und die dreifache Nullstelle. Um welche Art von Nullstelle es sich handelt, kann man sowohl im Graphen als auch in einer faktorisierten Funktionsgleichung erkennen.

Einfach Nullstellen

Eine einfache Nullstelle erkennst du an dem Vorzeichenwechsel der Funktionswerte von + nach - bzw. von - nach +.

Einfache Nullstelle
Einfache Nullstelle bei linearer Funktion
Einfache Nullstelle bei kubischer Funktion
Einfache Nullstelle bei kubischer Funktion

In der faktorisierten Funktionsgleichung z. B. f(x)=(x+3)$\cdot$(x²-4) treten an den Klammern kein Exponent auf. Daher sind alle Nullstellen (-3,-2,2).

Doppelte Nullstellen

Eine doppelte Nullstelle erkennst du an dem Vorzeichenwechseln von + nach + bzw. von - nach -.

Einfache Nullstelle bei quadratischer Funktion
Doppelte Nullstelle bei quadratischer Funktion

Es liegt immer ein Maximum oder Minimum vor. Da bei einem Maximum oder Minimum die 1. Ableitung 0 ist, gilt bei einer doppelten Nullstelle f(x)=0=f´(x)=0.

Doppelte Nullstelle bei kubischer Funktion
Doppelte Nullstelle bei kubischer Funktion

In der faktorisierten Funktionsgleichung z. B. f(x)=(x+3)²$\cdot$(x²-4)² tritt an den Klammern der Exponent 2 auf.  Daher sind alle Nullstellen (-3,-2,2) doppelte Nullstellen.

Ungerade mehrfache Nullstellen

Eine dreifache Nullstelle erkennst du an dem Vorzeichenwechsel der Funktionswerte von + nach - bzw. von - nach + und an der Existenz eines Sattelpunkt auf der x-Achse.

Dreifache Nullstelle bei kubischer Funktion
Dreifache Nullstelle bei kubischer Funktion

Da an einem Sattelpunkt die 1. und die 2. Ableitung Null ist, gilt bei einer dreifachen Nullstelle:
f(x)=0=f´(x)=0=f´´(x)=0

Dreifache Nullstelle bei x^5
Dreifache Nullstelle bei x5

In der faktorisierten Funktionsgleichung z. B. f(x)=(x+3)³$\cdot$(x²-4)³ tritt an den Klammern der Exponent 3 auf. Daher sind alle Nullstellen (-3,-2,2) dreifache Nullstellen.

Merke

Hier klicken zum AusklappenUngerade mehrfache Nullstellen haben einen Vorzeichenwechsel von + nach - oder von - nach + (ab n=3 liegt ein Sattelpunkt vor). Gerade mehrfache Nullstellen haben ein Maximum oder ein Minimum.
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Einleitung Analysis I
    • Einleitung zu Einleitung Analysis I
  • Verständnis der Ableitung
    • Einleitung zu Verständnis der Ableitung
    • Was ist die Ableitung?
    • Die graphische Ableitung
      • Einleitung zu Die graphische Ableitung
      • Punkte mit waagerechter Tangente
        • Einleitung zu Punkte mit waagerechter Tangente
        • Extrempunkte graphisch
        • Sattelpunkte
      • Wendepunkte graphisch
        • Einleitung zu Wendepunkte graphisch
        • Rechts-Links-Wendepunkt graphisch ableiten
        • Links-Rechts-Wendepunkt graphisch ableiten
      • Vergleich der Wendepunkte
      • Graphen ableiten
  • Ableiten
    • Einleitung zu Ableiten
    • Ableitungsregeln
      • Einleitung zu Ableitungsregeln
      • Potenzregel
      • Faktorregel
      • Summenregel
      • Produktregel
      • Quotientenregel
      • Kettenregel
      • Komplexe Funktionen ableiten
      • Sinus, Cosinus, e-Funktion und Logarithmus ableiten
    • Kurvenscharen ableiten
    • Die Ableitung im Abitur - Ableitungen graphisch bestimmen
  • Grundaufgaben der Analysis
    • Einleitung zu Grundaufgaben der Analysis
    • y-Wert berechnen
    • x-Wert berechnen
    • Steigung berechnen bei gegebenen x-Wert
    • Punkt zu einer gegebenen Steigung berechnen
  • Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1
    • Einleitung zu Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1
    • Definitionsbereich
    • Symmetrie
    • Schnittpunkte mit den Achsen
      • Einleitung zu Schnittpunkte mit den Achsen
      • y-Achsenabschnitt
      • Nullstellen
      • Klassifizierung der Nullstellen
    • Extrempunkte
      • Einleitung zu Extrempunkte
      • Bedingungen für Extrempunkte
      • Berechnung der Extrempunkte
    • Wendepunkte
      • Einleitung zu Wendepunkte
      • Bedingungen für Wendepunkte
      • Berechnung von Wendepunkten
  • Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2
    • Einleitung zu Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2
    • Globalverhalten
    • Wertebereich
    • Monotonie
    • Graph
    • Funktionsuntersuchung einer quadratischen Funktion
    • Funktionsuntersuchung im Abitur
  • Einführung in die Integralrechnung
    • Einleitung zu Einführung in die Integralrechnung
    • Von der Summe zum Integral
    • Die Stammfunktion und das unbestimmte Integral
    • Integrationsregeln
      • Einleitung zu Integrationsregeln
      • Potenzregel der Integration
      • lineare Substitution
    • Der Hauptsatz der Integral- und Differenzialrechung
    • Das bestimmte Integral
  • Integralrechnung - graphisches Integrieren
    • Einleitung zu Integralrechnung - graphisches Integrieren
    • graphisches Integrieren
    • Flächenberechnung
      • Einleitung zu Flächenberechnung
      • Fläche im Intervall
      • Fläche zwischen Graph und x-Achse
      • Fläche zwischen zwei Graphen
    • Die Integralrechung im Abitur
  • Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen
    • Einleitung zu Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen
    • Besonderheiten von Kurvenscharen
      • Einleitung zu Besonderheiten von Kurvenscharen
      • Klassifizierung von Kurvenscharen
        • Einleitung zu Klassifizierung von Kurvenscharen
        • Kurvenschar Bruch
        • Kurvenschar Wurzel 1
        • Kurvenschar Wurzel 2
        • Kurvenschar Hochpunkt/Tiefpunkt
      • Ortslinien von Kurvenscharen
    • Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung
      • Einleitung zu Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung
      • kubische Funktionenschar
        • Einleitung zu kubische Funktionenschar
        • Definitionsbereich und Symmetrie kubische Schar
        • Schnittpunkte mit den Achsen kubische Schar
        • Extrempunkte kubische Schar
        • Wendepunkte kubische Schar
        • Globalverhalten, Wertebereich, Monotonie kubische Schar
        • Graph kubische Schar
        • Ortslinie der Extrempunkte
  • Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen
    • Einleitung zu Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen
    • Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen
      • Einleitung zu Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen
      • Ableitung der e-Funktion
      • Asymptoten
    • Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen
      • Einleitung zu Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen
      • Einfache e-Funktion
      • komplexe e-Funktion
        • Einleitung zu komplexe e-Funktion
        • Definitionsbereich und Symmetrie komplexe e-Funktion
        • Schnittpunkte mit den Achsen komplexe e-Funktion
        • Extrempunkte komplexe e-Funktion
        • Wendepunkte komplexe e-Funktion
        • Globalverhalten, Wertebereich, Monotonie komplexe e-Funktion
        • Graph komplexe e-Funktion
    • Beispiel einer Funktionsuntersuchung einer e-Schar
      • Einleitung zu Beispiel einer Funktionsuntersuchung einer e-Schar
      • Definitionsbereich, Symmetrie, Schnittpunkte mit den Achsen e-Schar
      • Extrempunkte der e-Schar
      • Wendepunkte der e-Schar
      • Globalverhalten, Wertebereich, Monotonie e-Funktionenschar
      • Graph komplexe e-Funktionenschar
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