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Beispiel 1 Lineares Gleichungssystem

Folgende drei Gleichungen sind gegeben:

I     32a+16b+8c=3

II    80a+32b+12c=0,5

III   160a+48b+12c=0

Diese drei Gleichungen können mit dem Additionsverfahren gelöst werden.

Merke

Beim Additionsverfahren wird eine Gleichung so mit einer Zahl multipliziert, so dass bei der Addition mit einer anderen Gleichung ein Parameter (Buchstabe) rausfällt.

Beispiel

II *-2             -160a-64b-24c=-1              (Gleichung II wird mit -2 multipliziert)
III                   160a+48b+12c=0
II*-2+III=IV     0a -16b-12c=-1           (Die beiden Gleichungen werden addiert)

Der Parameter a ist aus der Gleichung entfernt.

Beispiel

I *-5             -160a-80b-40c=-15               (Gleichung I wird mit -5 multipliziert)
III                   160a+48b+12c=0
I*-5+III=V     0a -32b-28c=-15            (Die beiden Gleichungen werden addiert)

Der Parameter a ist auch hier entfernt. Jetzt hast du nur noch zwei Gleichungen mit 2 Parametern.

Beispiel

IV*-2                +32b+24c=2               (Gleichung IV wird mit -2 multipliziert)
V                       -32b-28c=-15
IV*-2+V=VI           0b-4c=-13               (Die beiden Gleichungen werden addiert)

Der Parameter b ist aus der Gleichung entfernt. Es gibt nur noch einen Parameter c in der Gleichung.

Die Gleichung VI kann jetzt nach c aufgelöst werden. $c=\frac{13}{4}$

Beispiel

c wird nun in Gleichung V eingesetzt und die Gleichung nach b aufgelöst.
$-32b-28\cdot \frac{13}{4}=-15$   /   Kürzen und zusammenfassen
$-32b-91=-15$                             /+91
$-32b=76 $                                     /:-32
$b= -\frac{76}{32}=-\frac{19}{8}$          / Kürzen!

Beispiel

c und b werden nun in Gleichung I eingesetzt und nach a aufgelöst.
32a+16b+8c=3
$32a+16\cdot -\frac{19}{8}+8\cdot \frac{13}{4}=3$     /Kürzen und zusammenfassen
$32a-38+26=3$                                            /zusammenfassen
$32a-12=3$                                                 /+12
$32a=15$                                                    /:32
$a=\frac{15}{32}$

Die Ergebnisse lauten: $a=\frac{15}{32}$, $b=-\frac{19}{8}$, $c=\frac{13}{4}$, d=0, e=0, f=0

Merke

Anstatt mit dem Additionsverfahren kannst man auch mit dem Subtraktionsverfahren arbeiten. D.h. anstelle mit -2 und -5 werden die Gleichungen mit 2 und 5 multipliziert und dann nicht addiert, sondern subtrahiert.

Multiple-Choice

Folgende zwei Gleichungen sind gegeben:

I     32a+16b+8c=3

II    64a+32b+12c=0,5

Wie kann der Parameter b eliminiert werden?

0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Bild von Autor Dr. Judith Frauendorf

Autor: Dr. Judith Frauendorf

Dieses Dokument Beispiel 1 Lineares Gleichungssystem ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Vorkenntnisse zur Analysis.

Dr. Judith Frauendorf verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
Vorstellung des Online-Kurses Vorkenntnisse zur AnalysisVorkenntnisse zur Analysis
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Vorkenntnisse zur Analysis

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  • Gleichungen lösen
    • Einleitung zu Gleichungen lösen
    • Lineare Gleichungen lösen
    • Quadratische Gleichungen lösen
      • Einleitung zu Quadratische Gleichungen lösen
      • Quadratische Funktionen lösen
      • Quadratische Funktion durch Ausklammern lösen
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    • Gleichungen höheren Grades lösen
      • Einleitung zu Gleichungen höheren Grades lösen
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      • Gleichungen durch Substitution lösen
      • Gleichungen durch Polynomdivision lösen
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    • e-Funktionen lösen
      • Einleitung zu e-Funktionen lösen
      • e-Funktionen mittels Substitution lösen
  • Umgang mit Potenzen
    • Einleitung zu Umgang mit Potenzen
  • Lineare Gleichungssysteme lösen
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