Addition und Subtraktion von Vektoren
Merke
Vektoren können addiert oder voneinander subtrahiert werden. Hierbei werden die Vektoren zeilenweise addiert bzw. subtrahiert. Man betrachtet also jede Koordinatenrichtung einzeln.
Addition von Vektoren
Beispiel
Wir addieren die Vektoren $\vec{a}= \begin{pmatrix} 1\\2\\-3 \end{pmatrix}$ und $\vec{b}= \begin{pmatrix} 2 \\ - 1 \\ 1 \end{pmatrix}$. Der resultierende Vektor $\vec{c}$ berechnet sich also durch $\vec{c}=\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 1\\2\\-3 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 2 \\ - 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+2 \\ 2+(- 1) \\ (-3)+1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$.
Bildlich dargestellt entspricht eine Addition von Vektoren dem Hintereinanderlegen ihrer Pfeile. Das Ergebnis der Addition ist dann der resultierende Vektor bzw. die Verschiebung von P zu R in der Zeichnung.
Im folgenden Video wird die Addition zweier Vektoren ebenfalls ausführlich erläutert:
Bestimmung des Gegenvektors
Zu jedem Vektor $\vec{a}=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}$ gibt es den zugehörigen Gegenvektor $\vec{–a}=\begin{pmatrix} –a_1 \\ -a_2 \\ -a_3 \end{pmatrix}$. Der zugehörige Pfeil liegt gleich, zeigt aber in die umgekehrte Richtung.
Subtraktion von Vektoren
Eine Subtraktion von $\vec{a}$ entspricht daher einer Addition mit dem Gegenvektor von $\vec{a}$.
Beispiel
Der Gegenvektor von $\begin{pmatrix} 3 \\ -6 \\ 2 \end{pmatrix}$ ist $\begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ -2 \end{pmatrix}$.
Die Subtraktion von Vektoren ist auch Thema dieses Videos:
Der Nullvektor
Vollständigkeitshalber benötigen wir zum Rechnen im Raum auch noch ein „Nullelement“. Der Vektor $\vec{o}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)$ ist dieses und heißt entsprechend Nullvektor.
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