Aufstellen von Ebenen in Parameterform
Eine Linearkombination von zwei (linear unabhängigen) Vektoren spannt eine Ebene auf. Wir können uns das mit zwei Stäben veranschaulichen. Wenn die beiden in unterschiedliche Richtungen zeigen, kann man auf sie eine Platte legen.
Was wir also mathematisch zum Beschreiben einer Ebene benötigen ist also ein Punkt auf der Ebene (Aufpunkt) und zwei linear unabhängige „Richtungsvektoren“. Bei Ebene spricht man von einem Stützvektor und zwei Spannvektoren. Der Stützvektor legt fest, wo die Ebene liegt, die Spannvektoren beschreiben, wie die Ebene verläuft, also quasi die Neigung der Ebene.
Merke
Der Ortsvektor jedes Punktes X auf der Ebene kann also beschrieben werden durch $\vec{x}= \vec{p} + r\cdot\vec{u} + s\cdot\vec{v}$. r und s sind reelle Zahlen und heißen Parameter.
Diese Darstellung heißt Parameterform einer Ebene (oder auch Parametergleichung oder Parameterdarstellung). Schon die besondere Bezeichnung legt nahe, dass es auch noch andere Darstellungsmöglichkeiten gibt. Um diese kümmern wir uns aber später.
Methode
Eine Ebene E ist durch die Punkte A(1|1|1), B(-2|1|2) und C(3|2|0) festgelegt. Wie lautet eine Parametergleichung von E?
Wir wählen z.B. den Punkt A als Aufpunkt und damit $\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ als Stützvektor. Die Vektoren $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-3\\0\\1\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$ können wir dann als Spannvektoren nehmen.
Die Parametergleichung von E ist dann: $\vec{x}=\overrightarrow{OA}+r\cdot\overrightarrow{AB}+s\cdot\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-3\\0\\1\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$ mit $r,s\in\mathbb{R}$.
Ein weiteres Beispiel gibt es hier im Video:
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