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Aufstellen von Ebenen in Parameterform

Eine Linearkombination von zwei (linear unabhängigen) Vektoren spannt eine Ebene auf. Wir können uns das mit zwei Stäben veranschaulichen. Wenn die beiden in unterschiedliche Richtungen zeigen, kann man auf sie eine Platte legen.

Was wir also mathematisch zum Beschreiben einer Ebene benötigen ist also ein Punkt auf der Ebene (Aufpunkt) und zwei linear unabhängige „Richtungsvektoren“. Bei Ebene spricht man von einem Stützvektor und zwei Spannvektoren. Der Stützvektor legt fest, wo die Ebene liegt, die Spannvektoren beschreiben, wie die Ebene verläuft, also quasi die Neigung der Ebene.

Merke

Der Ortsvektor jedes Punktes X auf der Ebene kann also beschrieben werden durch $\vec{x}= \vec{p} + r\cdot\vec{u} + s\cdot\vec{v}$. r und s sind reelle Zahlen und heißen Parameter.

Ebene mit Stütz- und Spannvektoren
Ebene mit Stütz- und Spannvektoren

Diese Darstellung heißt Parameterform einer Ebene (oder auch Parametergleichung oder Parameterdarstellung). Schon die besondere Bezeichnung legt nahe, dass es auch noch andere Darstellungsmöglichkeiten gibt. Um diese kümmern wir uns aber später.

Methode

Eine Ebene E ist durch die Punkte A(1|1|1), B(-2|1|2) und C(3|2|0) festgelegt. Wie lautet eine Parametergleichung von E?
Wir wählen z.B. den Punkt A als Aufpunkt und damit $\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ als Stützvektor. Die Vektoren $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-3\\0\\1\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$ können wir dann als Spannvektoren nehmen.
Die Parametergleichung von E ist dann: $\vec{x}=\overrightarrow{OA}+r\cdot\overrightarrow{AB}+s\cdot\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-3\\0\\1\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$ mit $r,s\in\mathbb{R}$.

Ein weiteres Beispiel gibt es hier im Video:

Video: Aufstellen von Ebenen in Parameterform

Multiple-Choice
Welche Punkte liegen auf der Ebene E mit $\vec{x}= \begin{pmatrix} 3\\-1\\2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2\\7\\-3 \end{pmatrix}$?
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Vorstellung des Online-Kurses Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)
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Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)

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