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Was ist ein Lineares Gleichungssystem (LGS)?

Das Lösen von Gleichungen gehört ohne Zweifel zum mathematischen Grundkönnen dazu. Noch ein Schritt interessanter ist das Lösen von Systemen von Gleichungen. Das entspricht dem logischen Schließen und Kombinieren eines Ergebnisses aus verschiedenen Aussagen. Bei linearen Gleichungssystemen haben wir nur lineare Variablen / Parameter / Koordinaten.

Beispiel

Ein Lineares Gleichungssystem (LGS) sieht beispielsweise so aus:
$\begin{alignat} {3}
&5 x_1 &+ 4 x_2 &+ 10 x_3  &= & 12 \\
&15 x_1 &- 4 x_2 &- 3 x_3  &= & 49 \\
&5 x_1 &+ 6 x_2 &+ 6 x_3  &= &{-14} \\
 \end{alignat}$
.
In diesem Fall handelt es sich um ein System von drei Gleichungen mit 3 Unbekannten x1, x2 und x3.

Lineare Gleichungssysteme erwarten uns in vielen Bereichen der Mathematik. Ein paar davon werden wir uns im Folgenden widmen:

  • Geometrische Überlegungen: Hier werden mithilfe von LGS mögliche Schnitte von Ebenen und Ebenen, Ebenen und Geraden oder Geraden und Geraden untersucht.
  • Bestimmung ganzrationaler Funktionen: Mittels LGS können die Koeffizienten von Funktionsgleichungen aus gegebenen Eigenschaften der Funktion bzw. ihres Graphen bestimmt werden.
  • Anwendungsbezogene Aufgaben: Für Mischungen wird nach einem bestimmten Mischungsverhältnis gesucht oder die Herstellung verschiedener Produkte aus Rohstoffen wird durch LGS beschrieben.
Vorstellung des Online-Kurses Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Einleitung und Grundlagen
    • Einleitung zu Einleitung und Grundlagen
    • Koordinatensystem
    • Was sind Vektoren?
    • Begriff des Vektorraums
    • Vektorraum - Basis und Dimension
  • Rechnen mit Vektoren
    • Einleitung zu Rechnen mit Vektoren
    • Addition und Subtraktion von Vektoren
    • Vektor zwischen zwei Punkten
    • Betrag eines Vektors berechnen
    • Vielfache von Vektoren bilden
    • Linearkombination von Vektoren
    • Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren
  • Geraden
    • Einleitung zu Geraden
    • Aufstellen einer Geradengleichung
    • Eine Gerade - viele Gleichungen?
    • Lage von Geraden
    • Schnitte von Geraden
  • Weitere Rechenoperationen mit Vektoren
    • Einleitung zu Weitere Rechenoperationen mit Vektoren
    • Normierung eines Vektors
    • Skalarprodukt zweier Vektoren
    • Vektoren und Winkel
    • Vektorprodukt / Kreuzprodukt
  • Ebenen in der analytischen Geometrie
    • Einleitung zu Ebenen in der analytischen Geometrie
    • Aufstellen von Ebenen in Parameterform
    • Normalenform einer Ebene
    • Koordinatenform einer Ebene
    • Darstellung einer Ebene im Koordinatensystem
    • Ebenengleichungen umwandeln
    • Hessesche Normalenform
  • Lagebeziehungen und Abstände
    • Einleitung zu Lagebeziehungen und Abstände
    • Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen
    • Abstandsprobleme
      • Einleitung zu Abstandsprobleme
      • Abstände von Punkten
      • Abstände von Geraden
      • Abstände von Ebenen
  • Schnitte
    • Einleitung zu Schnitte
    • Schnitt Gerade-Gerade
    • Schnitt Ebene-Gerade
    • Schnitt Ebene-Ebene
  • Spiegelungen
    • Einleitung zu Spiegelungen
    • Spiegelung an einem Punkt
    • Spiegelung an einer Geraden
    • Spiegelung an einer Ebene
  • Lineare Gleichungssysteme
    • Einleitung zu Lineare Gleichungssysteme
    • Was ist ein Lineares Gleichungssystem (LGS)?
    • Lösen eines linearen Gleichungssystems
      • Einleitung zu Lösen eines linearen Gleichungssystems
      • Allgemeine Vorgehensweise zur Lösung eines linearen Gleichungssystems
      • Gauß-Verfahren
      • Lösungsmöglichkeiten
  • Matrizen
    • Einleitung zu Matrizen
    • Darstellung in Matrizenform
    • Besondere Matrizen
      • Einleitung zu Besondere Matrizen
      • Einheitsmatrix
      • Dreiecksmatrix
      • Inverse Matrix
  • Rechenregeln für Matrizen
    • Einleitung zu Rechenregeln für Matrizen
    • Addition von Matrizen
    • Vervielfachen von Matrizen
    • Multiplikation von Matrizen
    • Zusammenfassung Matrizen
  • Anwendungen von Matrizen
    • Einleitung zu Anwendungen von Matrizen
    • Verflechtungsmatrizen
      • Einleitung zu Verflechtungsmatrizen
      • Beschreibung Verflechtungsmatrix
      • Anwendungsbeispiel Verflechungsmatrix
      • Mehrstufige Prozesse
    • Übergangsmatrizen
      • Einleitung zu Übergangsmatrizen
      • Beschreibung
      • Zustandsvektoren
      • Fixvektor
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