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Monotonie

Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2

Bei der Monotonie wird das Steigungsverhalten des Graphen betrachtet. Die Monotonie kann aus dem Graphen bestimmt werden oder wenn die Extrempunkte bekannt sind.

Vier Möglichkeiten des Monotonieverhalten

Es gibt vier verschiedene Möglichkeiten des Steigungsverhaltens eines Graphen.

Streng monoton steigend (sms), d.h. der Graph ist in diesem Intervall nur steigend.

streng monoton steigend
streng monoton steigend

Streng monoton fallend (smf), d.h. der Graph ist in diesem Intervall nur fallend.

streng monoton fallend
streng monoton fallend

Monoton steigend (ms), d.h. der Graph ist in diesem Intervall steigend. Er kann aber auch die Steigung Null haben, d.h. weder steigen noch fallen.

monoton steigend
monoton steigend

Monoton fallend (mf), d.h. der Graph ist in diesem Intervall fallend. Er kann aber auch die Steigung Null haben, d.h. weder steigen noch fallen.

monoton fallend
monoton fallend

Monotonie in bestimmten Intervallen

Meist ist der Graph nicht wie oben durchgehend monoton steigend oder fallend, sondern die Monotonie wird für bestimmte Intervalle angegeben.

Die Monotonie wechselt immer an den Extrempunkten. Entscheidend sind dabei die x-Werte.

Im folgenden Beispiel gibt es Extrempunkte bei x=-1, x=0 und x=1.

Die Monotonie kann dann folgendermaßen in 2 Möglichkeiten angegeben werden.
( ]0,1[ bedeutet, dass 0 und 1 nicht zum Interval gehören.)

1. Möglichkeit2. Möglichkeit
sms für x < -1sms auf Intervall ]-$\infty$,-1[
smf für -1 < x < 0smf auf Intervall ]-1,0[
sms für 0 < x < 1sms auf Intervall ]0,1[
smf für x > 1smf auf Intervall ]1, $\infty$[
Monotonieintervalle
Monotonieintervalle
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Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

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  • Einleitung Analysis I
    • Einleitung zu Einleitung Analysis I
  • Verständnis der Ableitung
    • Einleitung zu Verständnis der Ableitung
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      • Einleitung zu Die graphische Ableitung
      • Punkte mit waagerechter Tangente
        • Einleitung zu Punkte mit waagerechter Tangente
        • Extrempunkte graphisch
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      • Wendepunkte graphisch
        • Einleitung zu Wendepunkte graphisch
        • Rechts-Links-Wendepunkt graphisch ableiten
        • Links-Rechts-Wendepunkt graphisch ableiten
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      • Graphen ableiten
  • Ableiten
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      • Einleitung zu Ableitungsregeln
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      • Komplexe Funktionen ableiten
      • Sinus, Cosinus, e-Funktion und Logarithmus ableiten
    • Kurvenscharen ableiten
    • Die Ableitung im Abitur - Ableitungen graphisch bestimmen
  • Grundaufgaben der Analysis
    • Einleitung zu Grundaufgaben der Analysis
    • y-Wert berechnen
    • x-Wert berechnen
    • Steigung berechnen bei gegebenen x-Wert
    • Punkt zu einer gegebenen Steigung berechnen
  • Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1
    • Einleitung zu Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1
    • Definitionsbereich
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    • Schnittpunkte mit den Achsen
      • Einleitung zu Schnittpunkte mit den Achsen
      • y-Achsenabschnitt
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      • Einleitung zu Extrempunkte
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    • Wendepunkte
      • Einleitung zu Wendepunkte
      • Bedingungen für Wendepunkte
      • Berechnung von Wendepunkten
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    • Einleitung zu Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2
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