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Das Ableiten von Funktionen - Beispiele mit Lösungen

Video: Das Ableiten von Funktionen - Beispiele mit Lösungen

In diesem Text schauen wir uns zwei Beispiele und eine Anwendungsaufgabe zum Thema Ableitungen an. 

Sechs Ableitungsregeln - Überblick

Um Funktionen ableiten zu können, solltest du alle Ableitungsregeln auswendig können. Im Folgenden erhältst du eine kurze Übersicht zu den verschiedenen Ableitungsregeln. Wenn du mehr über die Ableitungsregeln erfahren möchtest, kannst du dir die Ableitungsregeln auch nochmal anschauen.

AbleitungsregelFunktionAbleitung
Potenzregel$f(x) = x^n$$\large{f'(x) = n\cdot x^{n-1}}$
Faktorregel$f(x)= k \cdot g(x)$ $ f'(x)= k \cdot g'(x)$
Summenregel $f(x)=g(x)+k(x)$$f'(x)= g'(x)+k'(x)$
Produktregel$f(x) = h(x) \cdot g(x)$$f'(x) = h'(x) \cdot g(x) + h(x) \cdot g'(x)$
Kettenregel$f(x)= u(b(x))$$f'(x)= u'(b(x)) \cdot b'(x)$
Quotientenregel$f(x)= \frac{u(x)}{v(x)} $$ f'(x)= \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v(x)^2}$

Funktionen ableiten - Beispiel 1

Beispiel

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Die Funktion $\large{f(x) = \frac{3x^2 \cdot (2x+5)}{(3x+1)}}$ ist gegeben und soll abgeleitet werden.

Es fällt sofort auf, dass wir die Quotientenregel anwenden müssen. Deshalb identifizieren wir zunächst die einzelnen Teilfunktionen und leiten diese dann einzeln ab:

$u(x) =3x^2 \cdot (2x+5)~~~~~~v(x) = (3x+1)$

$u(x) =3x^2 \cdot (2x+5) $

$\rightarrow$  Hier muss die Produktregel angewendet werden:

$u'(x) = 6x \cdot (2x+5) + 3x^2 \cdot 2  = 12 x^2 +30 x+6x^2 = 18x^2 +30 x$

$v(x) = (3x+1)$

$v'(x) = 3 $

$(v(x)) ^2= (3x+1)^2$

Nun setzten wir dies in die Formel der Quotientenregel ein:

$f'(x)= \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v(x)^2}$

$\large{f'(x)= \frac{ ((18x^2+30x) \cdot (3x+1)) - ((3x^2 \cdot (2x+5)) \cdot 3)}{(3x+1)^2}}$

Der Term sollte noch vereinfacht werden:

$\large{f'(x)=\frac{(54x^3+108x^2+30x)-(18x^3+45x^2)}{(3x+1)^2} = \frac{36x^3+63x^2+30x}{(3x+1)^2}}$

Also:

$\large{f(x) = \frac{3x^2 \cdot (2x+5)}{3x+1}}$

$f'(x)= \frac{36x^3+63x^2+30x}{(3x+1)^2}$

Wir hätten das Beispiel am Anfang vereinfachen können, indem wir zunächst die Klammer im Zähler ausmultiplizieren.

$\large{f(x) = \frac{3x^2 \cdot (2x+5)}{(3x+1)}}=  \frac{6x^3+15x^2}{3x+1}$

Dies hat den Vorteil, dass wir die Produktregel nicht beachten müssen.

Generell solltest du immer darauf achten, die Funktion soweit wie möglich zu vereinfachen bevor du die Ableitung berechnest.

Dies wird an diesem Beispiel noch deutlicher:

$\large{f(x) = \frac{3x^2 \cdot (2x+5)}{3x^2}}= \frac{\cancel{3x^2} \cdot (2x+5)}{\cancel{3x^2}} =2x+5 $

$f'(x) = 2$ 

Wir können den Bruch mit $3x^2$ kürzen und das Ableiten wird ganz einfach, obwohl die Funktion auf den ersten Blick recht kompliziert aussieht.

Funktionen ableiten - Beispiel 2: Baumwachstum

Das Wachstum eines Baumes kann mit der Funktion $f(x)= -0,005x^3+0,25x^2+0,5x$ beschrieben werden. Dabei entspricht $x$ der Zeit in Tagen und der dazugehörige Funktionswert $f(x)$ gibt die Höhe des Baumes in $mm$ an.

Frage:

Wie schnell wächst der Baum am ersten Tag und wie schnell am zehnten Tag?

Antwort:

Die Wachstumsgeschwindigkeit entspricht der Steigung. Diese kann mit der ersten Ableitung bestimmt werden. Berechnen wir daher zuerst die Ableitung: 

$f(x)= -0,005x^3+0,25x^2+0,5x$

$f'(x)= -0,015x^2+0,5x+0,5$

Diese Funktion beschreibt die Wachstumsgeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit. Setzten wir für den ersten Tag $x=1$ und für den zehnten Tag $x=10$ ein:

$f'(1) = -0,015\cdot 1^2+0,5\cdot 1+0,5$

$= -0,015 + 0,5 + 0,5 = 0,985$

Am ersten Tag hat der Baum eine Wachstumsgeschwindigkeit von $0,985\frac{mm}{Tag}$.

$f'(10)= -0,015\cdot 100+0.5\cdot 10+0,5$

$= -1,5+5 +0,5= 4$

Am zehnten Tag wächst der Baum viel schneller. Er hat eine Wachstumsgeschwindigkeit von $4\frac{mm}{Tag}$.

Funktionen ableiten - Beispiel 3

Versuche zunächst selbst, die Funktion abzuleiten und vergleiche dann dein Ergebnis mit den Lösungen:

Vertiefung

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Lösung

$f(x) = a\cdot x^3+3a$

$f'(x) = 3 a\cdot x^2$

Die Funktion hat die Variable $x$. Der Buchstabe $a$ wird wie eine Zahl behandelt! Daher fällt $+3a$ auch weg. 

Nun hast du ein paar Beispiele zu den Ableitungsregeln kennengelernt. Überprüfe mit den Übungsaufgaben dein Wissen! Viel Erfolg dabei!

Video: Fabian Serwitzki

Text: Chantal Rölle

Zuordnung
Welche Ableitung gehört zu welcher Funktion?

    $f(x) = 2x^3+1$

    $f(x) = \frac{(3x+2)^3}{3x+2}$

    $f(x) = 9x^2\cdot 12 x$

  • $f'(x) = 324 x^2$
  • $f'(x) = 18x+12$
  • $f'(x) = 6x^2$
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