Ableitungsregeln von speziellen Funktionen: Erklärung
In diesem Lerntext erhältst du eine Übersicht, über die speziellen Ableitungsregeln. Dazu gehören die Ableitung der e-Funktionen, der Exponentialfunktionen, der Logarithmusfunktionen und der Winkelfunktionen. Du kannst dir die allgemeinen Ableitungsregeln gerne auch noch einmal anschauen.
Exponentialfunktionen - Die Ableitungsregel
Merke
$f(x) = a^x ~~\rightarrow~~ f'(x) = a^x\cdot ln(a)$
Die Ableitung einer Exponentialfunktion ist die Exponentialfunktion mal dem Logarithmus der Basis.
Beispiel
$f(x) = 3^x ~~\rightarrow~~ f'(x) = 3^x\cdot ln(3)$
e-Funktionen - Die Ableitungsregel
Merke
$f(x) = e^x ~~\rightarrow~~ f'(x) = e^x$
Die Ableitung der e-Funktion ist wieder die e-Funktion.Dies mag zuerst etwas merkwürdig klingen. Daher schauen wir uns den Grund für diese Regel genauer an:
Die e-Funktion ist nichts anderes als eine Exponentialfunktion, deren Basis $e$ ist. Setzen wir die Variable $e$ anstatt dem $a$ in die Ableitungsregel für Exponentialfunktionen ein, erhalten wir Folgendes:
$f(x) = a^x \rightarrow f'(x) = a^x\cdot ln(a)$
$f(x) = e^x \rightarrow f'(x) = e^x\cdot ln(e)$
Da $ln(e) =1$ gilt, fällt dieser Teil weg: $f'(x) = e^x\cdot ln(e) =e^x\cdot 1 = e^x $. Somit fällt der letzte Teil weg.
Steht die Variable $x$ nicht alleine, müssen wir weitere Ableitungsregeln beachten.
Merke
$f(x) = e^{g(x)} ~~\rightarrow~~ f'(x) =g'(x)\cdot e^{g(x)}$
Die obere Funktion wird ganz normal abgeleitet und kommt als Faktor vor die Funktion. Das $e$ mit dem kompletten Exponententerm bleibt beibehalten. Schauen wir uns dazu zwei Beispiele an:
Beispiel
- $f(x) = e^{ax}$
Die Ableitung von $g(x) = ax$ ist gleich $g'(x) =a$.
$ ~~\rightarrow~~ f'(x) =a\cdot e^{ax}$ - $f(x) = e^{5x^2}$
Die Ableitung von $g(x) = 5x^2$ ist gleich $g'(x) = 10x$.
$~~\rightarrow~~ f'(x) =10x\cdot e^{5x^2}$
Logarithmusfunktionen - Die Ableitungsregel
Merke
$f(x) = ln(x) ~~\rightarrow~~ f'(x) = \frac{1}{x}$
Eine Logarithmusfunktion wird abgeleitet, indem $1$ durch die Variable gerechnet wir.
Winkelfunktionen - Die Ableitungsregeln
Merke
- Sinusfunktion: $f(x) = sin (x) ~~\rightarrow~~ f'(x) = cos (x)$
- Kosinusfunktion: $f(x) = cos (x) ~~\rightarrow~~ f'(x) = -sin (x)$
- Tangensfunktion: $f(x) = tan(x) ~~\rightarrow~~ f'(x) = \frac{1}{(cos(x))^2}$
Die Ableitungsregeln der Winkelfunktionen lernst du am besten einfach auswendig. Du kannst dir bei uns die Sinusfunktion auch noch einmal anschauen.
Weitere Ableitungsregeln
Merke
$f(x) =\frac{1}{x}(= x^{-1}) ~~\rightarrow~~ f'(x) = -\frac{1}{x^2}(=- 1\cdot x^{-2})$
$f(x) = \sqrt{x}(=x^{\frac{1}{2}}) ~~\rightarrow~~ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}(=\frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}})$
Diese Ableitungsregeln beruhen auf der allgemeinen Regel:
$f(x) = x^n~~\rightarrow~~f'(x) = n \cdot x^{n-1}$
Nun hast du die speziellen Ableitungsregeln kennengelernt und kannst dein Wissen mit den Übungsaufgaben testen. Viel Erfolg dabei!
Video: Simon Wirth
Text: Chantel Rölle
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