Die mathematische Funktion
Funktionen sind ein wichtiger Bestandteil der Mathematik. Sie gehören zu dem Bereich der Analysis. In diesem Lerntext erhältst du eine grundlegende Definition und Erklärungen zum Thema Funktionen.
Mathematische Funktion - Definition
Eine Funktion stellt immer das Verhältnis zweier Variablen dar. Meist werden die zwei Variablen $x$ und $y$ genannt. Dieses Verhältnis kann dann durch eine Gleichung ausgedrückt und in ein Koordinatensystem eingezeichnet werden. Die eingezeichnete Funktion wird dann Funktionsgraph genannt.
Mathematisch ausgedrückt geht es um folgenden Zusammenhang:
Merke
Zwei Variablen stehen in einem Verhältnis zueinander.
Dabei ist $x$ die unabhängige Variable und wird auch Funktionsargument genannt. $x$ ist ein Element der Definitionsmenge $ \mathbb{D}_f $.
$y$ ist die abhängige Variable und wird auch Funktionswert genannt. $y$ ist ein Element der Wertemenge $ \ \mathbb W_f$.
Dabei gilt folgende Bedingung: Jedem x-Wert darf nur ein y-Wert zugeordnet werden. Anders gesagt, bedeutet dies, dass jedem Element der Definitionsmenge nur genau ein Element der Wertemenge zugeordnet wird, ansonsten liegt keine Funktion vor!
Dabei kann anstatt $y$ auch $f(x)$ geschrieben werden. Dies bedeutet, dass $y$ das Gleiche ist, wie die mit dem Wert $x$ berechnete Funktion.
Wertetabelle anlegen - Schritt für Schritt
Um eine Funktion zu zeichnen, kann als Hilfsmittel eine Wertetabelle erstellt werden. In dieser werden dann die x-Werte und y- Werte abgebildet:
| x-Werte | y-Werte |
| $a~~~~~~~~$ | $f(a) ~~~~~~~~$ |
Methode
In der Wertetabelle stehen die x-Werte links und die dazugehörigen y-Werte rechts.
Genauso wird ein Punkt angegeben:
$P (x-Wert / y-Wert)$
In einem Koordinatensystem verläuft die x-Achse immer von links nach rechts und die y-Achse von unten nach oben .
Von der Wertetabelle zum Koordinatensystem - Wie geht man vor?
Die Werte werden dann in ein Koordinatensystem eingezeichnet:
Wir sehen, dass an der x-Achse und auch an der y-Achse Pfeile sind. Diese deuten darauf hin, dass das gezeichnete Koordinatensystem weiter geht. Funktionsgraphen sind unendlich lang, sie haben keinen Anfang und kein Ende. Wenn wir Funktionen zeichnen, betrachten wir immer nur einen Abschnitt.
Um einen Punkt einzuzeichnen, geht man wie folgt vor: Betrachten wir als Beispiel den Punkt $P(2/6)$. Zunächst suchen wir die $2$ auf der x-Achse und ziehen gedanklich eine Linie nach oben. Dann suchen wir die $6$ auf der y-Achse und ziehen eine gedankliche Linie nach rechts. Da wo sich die beiden "Gedankenlinien" treffen, setzen wir den Punkt.
Machen wir dies mit mehreren Punkten und verbinden diese, dann erhalten wir die Funktionsgraph.
Schreibweisen von Funktionen - Funktionsgleichung, Zuordnungsvorschrift und Funktionsterm
Funktionen können verschieden notiert werden. Dabei bedeuten verschiedene Schreibweisen oft das Gleiche. Die in der Schule am häufigsten verwendete Schreibweise, ist die der Funktionsgleichung. Es gibt jedoch auch eine Zuordnungsvorschrift und einen Funktionsterm, die das Gleiche bedeuten:
- Funktionsgleichung
$f(x) = x^2 +3$ - Zuordnungsvorschrift
$x\rightarrow x^2+3$ - Funktionsterm
$x^2+3$
Nun hast du die Grundlagen zum Thema Funktionen kennengelernt. Mit den Übungsaufgaben kannst du dein Wissen überprüfen. Viel Erfolg dabei!
Video: Fabian Serwitzki
Text: Chantal Rölle
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