Monotonieverhalten von Funktionen bestimmen
In diesem Text erklären wir dir, was monoton steigend bzw. fallend ist und wie du mithilfe einer Funktionsgleichung herausfinden kannst, an welchen Stellen die Funktion steigt bzw. fällt.
Was ist die Monotonie einer Funktion? - Definition
Die Monotonie beschreibt den Verlauf einer Funktion. Das Monotonieverhalten beschreibt, ob der Graph der Funktion steigt, fällt oder konstant verläuft. Somit hat die Monotonie viel mit der Steigung der Funktion zu tun.
Es gibt Funktionen, die ausschließlich monoton steigend/ zunehmend /wachsend sind und Funktionen, die ausschließlich monoton fallend/ abnehmend sind.
Monotonieverhalten von Funktionen
monoton steigend
Bei streng monoton steigenden Funktionen steigt der $y$-Wert, der Funktionswert $f(x)$, mit dem $x$-Wert. Das heißt, wenn der $x$-Wert größer wird, wir auch der $y$-Wert größer. Dies bedeutet mit anderen Worten, dass die Funktion an jeder Stelle steigt.
Merke
streng monoton steigend:
$x_1$
In Worten erklärt bedeutet dies, dass wenn $x_1$ kleiner ist als $x_2$, also der $x$-Wert größer wird, dann ist auch der Funktionswert von $x_1$ kleiner als der Funktionswert von $x_2$, also auch der $y$-Wert wird größer.
Wenn eine Funktion streng monoton steigend verläuft, gilt:
$f '(x) > 0$
Die Ableitung ist größer als null. Egal, welchen $x$-Wert man einsetzt, das Ergebnis der Ableitung ist immer positiv.
Es gibt auch Funktionen, die nur monoton steigend sind, nicht streng monoton steigend. Diese Funktionen steigen nicht an jedem Punkt an, sondern verlaufen zum Teil auch gerade, also parallel zur $x$-Achse. Jedoch dürfen sie nicht fallen. Eine solche Funktion könnte dann zum Beispiel so aussehen:
Die Funktion steigt entweder oder verläuft konstant, parallel zur $x$-Achse. Die Steigung der Funktion ist also entweder positiv oder null. Wenn der $x$-Wert größer wird, wird der $y$-Wert also entweder größer oder bleibt unverändert.
Merke
monoton steigend:
$x_1$
In Worten erklärt bedeutet dies, dass wenn $x_1$ kleiner ist als $x_2$, also der $x$-Wert steigt, dann ist auch der Funktionswert von $x_1$ kleiner oder gleich dem Funktionswert von $x_2$.
Wenn eine Funktion monoton steigend verläuft, gilt:
$f '(x) \ge 0$
Die Ableitung ist größer als null oder gleich null. Die Steigung wird also nicht negativ. Egal, welchen $x$-Wert man einsetzt, das Ergebnis der Ableitung ist immer positiv oder gleich null.
monoton fallend
Bei streng monoton fallenden Funktionen nimmt der $y$-Wert ($f(x)$) ab, wenn der $x$-Wert größer wird.
Merke
streng monoton fallend:
$x_1 f(x_2)$
In Worten erklärt bedeutet dies, dass wenn $x_1$ kleiner ist als $x_2$ ist, also der $x$-Wert größer wird, dann wird der $y$-Wert kleiner. Also ist der Funktionswert von $x_2$ kleiner als der Funktionswert von $x_1$.
Wenn eine Funktion streng monoton fallend verläuft, gilt:
$f '(x)
Die Ableitung ist kleiner als null. Mit anderen Worten ist die Steigung an jedem Punkt der Funktion negativ. Egal, welchen $x$-Wert man einsetzt, das Ergebnis der Ableitung ist immer negativ.
Auch bei den monoton fallenden Funktionen gibt es Funktionen, die nicht als streng monoton fallend bezeichnet werden können. Dies sind dann Funktionen, die entweder fallend oder konstant, parallel zur $x$-Achse, verlaufen.
Merke
monoton fallend:
$x_1$
In Worten erklärt bedeutet dies, dass wenn $x_1$ kleiner als $x_2$, also der $x$-Wert steigt, dann wird der $y$-Wert kleiner oder bleibt unverändert. Also ist der Funktionswert von $x_1$ größer oder gleich dem Funktionswert von $x_2$.
Wenn eine Funktion monoton fallend verläuft, gilt:
$f '(x) \le 0$
Die Ableitung ist kleiner oder gleich null. Mit anderen Worten ist die Steigung an keinem Punkt positiv. Egal, welchen $x$-Wert man in die Ableitung einsetzt, das Ergebnis der Ableitung ist immer negativ oder null.
Was sind Monotonie-Intervalle?
Es gibt viele Funktionen, deren Graphen sich weder durchgehend steigen noch durchgehend fallend verhalten. Dies sind Funktionen, deren Monotonieverhalten sich entlang des Graphen verändert. Das Monotonieverhalten solcher Funktionen muss dann abschnittsweise untersucht werden.
Die Funktion $f(x) = x^2$ ist zum Beispiel für $x0$, also für alle positiven $x$-Werte, steigt die Funktion hingegen streng monoton an.
Monotonieverhalten bestimmen - Schiritt für Schritt
Um das Monotonieverhalten einer Funktion bestimmen zu können, müssen wir die Funktion ableiten. Die Ableitungsregeln und die Vorgehensweise findest du hier nochmal zusammengefasst: Ableitungsregeln
Es gibt verschiedene Vorgehensweisen, um das Monotonieverhalten zu bestimmen. Eine relativ einfache Methode basiert auf der ersten und zweiten Ableitung der Funktion.
Vorgehensweise:
Methode
- Die erste und zweite Ableitung bilden.
- Die Nullstellen der ersten Ableitung berechnen.
- Art des Extremums mithilfe der zweiten Ableitung bestimmen.
- Interpretation.
Monotoinieverhalten bestimmen - Beispielaufgabe
Schauen wir uns ein Beispiel an:
Beispiel
Die Funktion $f(x) = -5 x^2 -3$ ist gegeben.
1. $f ' (x) = -10 x$
$~f '' (x) = -10 $
2. $f '(x) = 0 ~~~\rightarrow~~~0= -10 x~~~ \rightarrow ~~~x=0$
3. Die Art des Extremums wird bestimmt, indem die Nullstelle der ersten Ableitung in die zweite Ableitung eingesetzt wird. Wenn das Ergebnis negativ ist, besitzt die Funktion an dieser Stelle einen Hochpunkt, wenn das Ergebnis positiv ist, besitzt die Funktion an dieser Stelle einen Tiefpunkt.
$f ''(0) = -10
4. Die Funktion besitzt bei $x=0$ einen Hochpunkt. Das bedeutet, dass die Funktion links von diesem Punkt steigen muss und recht von diesem Punkt fallen muss. Also:
Für $ x0$ streng monoton fallend.
In den Übungsaufgaben kannst du dein neu erworbenes Wissen überprüfen. Viel Erfolg dabei!
Video: Simon Wirth
Text: Chantal Rölle
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