Was sind die Eigenschaften von Potenzfunktionen?
Ihr nehmt gerade in Mathe Potenzfunktionen durch? Du willst nochmal in Ruhe alles zu diesem Thema lernen und vor allem alles verstehen? In diesem Lerntext erklären wir dir die Eigenschaften der jeweiligen Potenzfunktionen. Wir zeigen dir außerdem zu den vier Arten von Potenzfunktionen die Graphen, damit du weißt, wie sie überhaupt aussehen.
Im Folgenden findest du eine Übersicht zu den Eigenschaften von Potenzfunktionen.
Was ist eine Potenzfunktion? - Definition
Merke
Potenzfunktionen werden laut Definition Funktionen genannt, die mindestens eine unbekannte Zahl $x$ mit einem Exponenten $n \neq 0$ haben.
Die Schreibweise ist: $f(x) = x^{n}$
Hinweis
Wie du Potenzfunktionen zeichnest, kannst du im Lerntext Potenzfunktionen zeichnen nachlesen und lernen. Außerdem kannst du mehr über Potenzfunktionen mit natürlichen, negativen und rationalen Exponenten in unseren Lerntexten Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten, Potenzfunktionen mit negativem Exponenten und Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten lernen.
Wir unterscheiden vier Arten von Potenzfunktionen:
4 Arten von Potenzfunktionen - Übersicht und Erklärung
1. Fall: gerader, positiver Exponent
Der Exponent der Funktion ist gerade und positiv. Der Graph einer solchen Funktion liegt oberhalb der x-Achse, also nur im ersten und zweiten Quadranten des Koordinatensystems. Die einzige Nullstelle der Funktion ist der Ursprung. Der Graph der Funktion geht außerdem immer durch die Punkte P1(-1|1) und P2(1|1).
Merke
Potenzfunktionen mit einem positiven geraden Exponenten
Die Funktionen gehen immer durch die Punkte P1(-1|1), N(0|0) und P2(1|1).
Die einzige Nullstelle ist der Ursprung, N(0/0).
Die Definitionsmenge dieser Potenzfunktion sind alle reellen Zahlen, also D = ℝ.
Der Wertebereich dieser Potenzfunktion ist W = ℝ+ [0; +∞].
Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
Für die Grenzwerte dieser Potenzfunktion gilt:
$x\rightarrow-∞ = ∞$ und $x\rightarrow +∞= ∞$
2. Fall: ungerader, positiver Exponent
Der Exponent der Funktion ist ungerade und positiv. Die Funktion verläuft, wie im Bild zu sehen, aus dem Negativen, über den Ursprung, ins Positive. Der Punkt N(0|0) ist die einzige Nullstelle und zugleich Sattelpunkt der Funktion. (Sonderfall: f(x)=x Hier ist der Ursprung kein Sattelpunkt.) Alle Funktionen gehen durch die folgenden drei Punkte: P1(-1|-1), N(0|0) und P2(1|1)
Merke
Potenzfunktionen mit einem positiven ungeraden Exponenten
Die Funktionen gehen alle durch die Punkte: P1(-1|-1), N(0|0) und P2(1|1)
Die einzige Nullstelle ist der Ursprung, N(0/0).
Die Definitionsmenge und der Wertebereich sind die Menge der reellen Zahlen, also D = ℝ und W = ℝ.
Die Funktionen sind punktsymmetrisch zum Ursprung.
Für die Grenzwerte gilt:
$x\rightarrow-∞ = -∞$ und $x\rightarrow +∞= ∞$
3. Fall: gerader, negativer Exponent
Beim dritten Fall handelt es sich um Funktionen mit einem negativen geraden Exponenten. Der Funktionsgraph liegt auch hier nur im positiven Bereich, also oberhalb der x-Achse. Der Graph schmiegt sich an beide Koordinatenachsen an, das heißt, die Koordinatenachsen sind hier Asymptoten.
Hinweis
Asymptoten sind Geraden, an die sich der Funktionsgraph annähert, ohne diese je zu berühren. Bei der Funktion $f(x) = x^{-2}$ sind beide Koordinatenachsen Asymptoten (siehe Bild).
Merke
Potenzfunktionen mit einem negativen geraden Exponenten
Es gibt keine Nullstelle.
Die Funktionen gehen durch die Punkte P1(-1|1) und P2(1|1).
Der Definitionsbereich ist D = ℝ\{0}.
Der Wertebereich ist W = ℝ+.
Die Funktionen sind alle achsensymmetrisch zur y-Achse.
Für die Grenzwerte gilt:
$x\rightarrow-∞ = 0$ und $x\rightarrow +∞= 0$
Ferner gilt:
$x\rightarrow0^- = ∞$ und $x\rightarrow 0^+= ∞$
4.Fall: ungerader, negativer Exponent
Der letzte Fall behandelt Funktionen, die einen ungeraden negativen Exponenten besitzen. Solche Funktionen sind ebenfalls, wie Funktionen mit ungeradem positivem Exponenten, punktsymmetrisch zum Ursprung.
Merke
Potenzfunktionen mit einem negativen ungeraden Exponenten
Die Funktionen gehen durch die Punkte P1(-1|-1) und P2(1|1).
Es gibt keine Nullstelle.
Die Definitionsmenge und der Wertebereich sind D = W = ℝ\{0}.
Die Funktionen sind punktsymmetrisch zum Ursprung.
Für die Grenzwerte gilt:
$x\rightarrow-∞ = 0$ und $x\rightarrow +∞= 0$ (Die y-Achse ist also Asymptote.)
Ferner gilt:
$x\rightarrow0^- = - ∞$ und $x\rightarrow 0^+= ∞$
Der Sonderfall - Potenfunktion $f(x) = x^0$
Ein Sonderfall bei den Potenzfunktionen ist die Funktion, deren Exponent 0 ist, $f(x) = x^0$. Der Graph dieser Funktion ist eine Parallele zur y-Achse, die durch den Punkt P(0|1) verläuft.
Nun hast du eine detaillierte Übersicht über die unterschiedlichen Potenzfunktionen in Mathe. Ob du alles verstanden hast, kannst du anhand unserer Übungen testen. Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!
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