abiweb
online lernen

Die perfekte Abiturvorbereitung

Potenzfunktionen - Aufstellen der Umkehrfunktion

Video: Potenzfunktionen - Aufstellen der Umkehrfunktion

In diesem Text erklären wir dir, was die Umkehrfunktion einer Potenzfunktion ist und wie du sie berechnen kannst.

Was ist eine Umkehrfunktion? - Definition

Umkehrfunktionen ordnen, wie der Name schon sagt, die Funktion umgekehrt zu. Das bedeutet, dass der $x$-Wert mit dem $y$-Wert getauscht wird. Dies ist nur möglich, wenn es für jeden Funktionswert $(y)$ nur einen $x$-Wert gibt.

Grafisch kannst du die Umkehrfunktion bilden, indem du die Funktion an der Winkelhalbierenden, also an der Funktion $f(x) =x$, spiegelst.

Umkehrfunktion bilden

Die Umkehrfunktion der Funktion $f(x)$ wird mit $f^{\textcolor{red}{-1}} (x)$ gekennzeichnet. Die hochgestellte $\textcolor{red}{-1}$ ist also das Zeichen für die Umkehrfunktion.
Um eine Umkehrfunktion zu bilden, muss die Funktion zunächst nach $x$ umgestellt werden. Danach werden $x$ und $y$ getauscht, dabei vertauscht sich auch die Definitions- und die Wertemenge.

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

Vorgehensweise: Umkehrfunktion bilden

  1. Die Funktion nach $x$ auflösen.
  2. $x$ und $y$ tauschen.

Schauen wir uns zwei Beispiele an:

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

$y = 3x^2+5$

1. Die Funktion nach $x$ auflösen.

$y = 3x^2+5~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~|-5$
$y-5 = 3x^2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~|:3$
$\frac{y-5}{3}=x^2~~~~~~~~~~~~~~~~~|\sqrt{~~}$
$\sqrt{\frac{y-5}{3}}=x$

2. $x$ und $y$ tauschen.

$\sqrt{\frac{x-5}{3}}=y$    bzw.    $y= \sqrt{\frac{x-5}{3}}$  

$f^{-1}(x) = \sqrt{\frac{x-5}{3}} $

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

$f(x)= 5x^3$

1. Die Funktion nach $x$ auflösen.

$y =5x^3~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~|:5$

$\frac{y~}{5~}=x^3~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~|\sqrt[3]{~~}$

$\sqrt[3]{\frac{y~}{5~}}=x$

2. $x$ und $y$ tauschen.

$f^{-1}(x) =  \sqrt[3~]{\frac{x~}{5~}}$

Was ist eine Potenzfunktion? - Wiederholung

Bei einer Potenzfunktion hat die Variable, also der $x$-Wert, einen Exponenten.

Hinweis

Hier klicken zum Ausklappen

$f(x) = x ^\textcolor {red}{n}$

Allgemein verlaufen Potenzfunktionen mit positiven Exponenten immer durch den Ursprung. In diesem Text schauen wir uns aber nur die Umkehrfunktionen von solchen Potenzfunktionen an.  

potenzfunktionen-beispiele
Abbildung: Graphen von Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten

Wie sehen die Umkehrfunktionen von solchen Potenzfunktionen mit positiven Exponenten aus?

Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen bilden - Schritt für Schritt

Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten

Die Umkehrfunktion der Potenzfunktion $f(x) = x^3$ soll gebildet werden. Wir gehen so vor, wie oben beschrieben:

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

1. Die Funktion nach $x$ auflösen:

$y = x^3 ~~~~~~~|\sqrt[3]{~~}$
$\sqrt[3]{y}= x$

2. $x$ und $y$ tauschen:

$y= \sqrt[3]{x}$   bzw.   $f^{-1}(x) =y= \sqrt[3]{x}$

$f(x) = x^3 $ mit seiner Umkehrfunktion $f^{-1}= \sqrt[3]{x}$" alt="umkehrfunktionx3" src="/assets/courses/media/umkehrfunktionx3-ca.png">
Abbildung: Funktion $f(x) = x^3 $ und die Umkehrfunktion $f^{-1}(x)= \sqrt[3]{x}$

Bei allen anderen Potenzfunktionen, die einen ungeraden Exponenten haben, kann man genauso vorgehen.

Potenzfunktionen mit geradem Exponenten

Bei Potenzfunktionen, die einen geraden Exponenten haben, muss man anders verfahren, denn jedem $y$-Wert werden zwei $x$-Werte zugeordnet. So ist beispielsweise bei der Funktion $y=x^2$ für den $y$-Wert $y= 4$ sowohl $x=2$ als auch $x=-2$ richtig. Daher muss der Definitionsbereich eingeschränkt werden.

Schauen wir uns dazu die Umkehrfunktion der Funktion $f(x)=x^2$ an:

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

Es muss zunächst die Definitionsmenge festgelegt werden. Wir wollen die Umkehrfunktion für alle positiven $x$-Werte bilden, $x\ge 0$.

1. Die Funktion nach $x$ auflösen:

$f(x)= x^2 ~~~~~~~|\sqrt[2]{~~}$
$\sqrt[2]{y}= x$

2. $x$ und $y$ tauschen:

$f^{-1}(x)=  \sqrt[2]{x}$,          für alle $x\ge 0$.

umkehrfunktionx2
Abbildung: Funktion $f(x) = x^2 $ mit Umkehrfunktion $f^{-1}(x)= \sqrt[2]{x}$

Mit den Übungsaufgaben kannst du nun dein neu erworbenes Wissen zum Bilden von Umkehrfunktionen überprüfen. Viel Erfolg dabei!

Video: Simon Wirth

Text: Chantal Rölle

Lückentext
Wie geht man vor, um eine Umkehrfunktion zu bilden?
Was muss man vorher prüfen?
Um eine Umkehrfunktion zu bilden, geht man wie folgt vor:
  1. Die Funktion nach   auflösen.
  2. x und y  .

Man muss als erstes prüfen, ob zu jeden y-Wert nur x-Wert gehört. Wenn es mehrere Möglichkeiten für x gibt, muss der festgelegt werden.
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte füllen Sie alle Lücken im Text aus. Möglicherweise sind mehrere Lösungen für eine Lücke möglich. In diesem Fall tragen Sie bitte nur eine Lösung ein.