Potenzregel
Ableitungsregeln
Die wichtigste Regel beim Ableiten ist die Potenzregel.
Merke
Ist f(x) eine Potenzfunktion $f(x)=x^n$,
dann lautet die Ableitungsfunktion $f´(x)=n\cdot x^{n-1}$.
n muss dabei keine ganze Zahl sein, sondern kann auch ein Bruch sein.
Beispiel
$f(x)=x^3 \to f´(x)=3\cdot x^{3-1}=3\cdot x^2$
$f(x)=x^7\to f´(x)=7\cdot x^{7-1}=7\cdot x^6$
$f(x)=x^{-2}\to f´(x)=-2\cdot x^{-2-1}=-2\cdot x^{-3}$
$f(x)=x^{\frac{2}{3}} \to f´(x)={\frac{2}{3}}\cdot x^{\frac{2}{3}-1}={\frac{2}{3}}\cdot x^{\frac{-1}{3}}$
Schwieriger ist das Ableiten von Potenzfunktionen bei f(x)=x und g(x)=1,
da es dort keinen offensichtlichen Exponenten gibt.
Beide Funktionen können aber auch mit Exponenten geschrieben werden:
$f(x)=x=1\cdot x^1$
$g(x)=1=x^0$
In dieser Schreibweise kann nun die Potenzregel angewendet werden:
$f´(x)=1\cdot x^{1-1}=1\cdot x^0=1$
$g´(x)=0\cdot x^{0-1}=0\cdot x^{-1}=0$
So ergibt sich folgende Regel für f(x)=x und g(x)=1:
Merke
f(x)=x $\to$ f´(x)=1
g(x)=1 $\to$ g´(x)=0
D.h. wird eine Funktion mit x abgeleitet fällt x weg,
wird eine Konstante abgeleitet fällt diese weg.
In den folgenden drei Videos werden nochmal verschiedene Beispiele dazu erklärt.
Video: Potenzregel
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