Logarithmusfunktionen
Eine Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion einer Exponentialfunktion. Umkehrfunktionen erhält man, indem die x-und die y-Werte vertauscht werden bzw. der Graf der Funktion an der Winkelhalbierenden gespiegelt wird.
Exponentialfunktionen haben die Form: $y=b^x$.
Werden jetzt x und y vertauscht und nach x umgestellt
entsteht die Logarithmusfunktion y=log_b (x) (sprich Logarithmus von x zur Basis b)
Merke
Spezielle Exponentialfunktionen sind die e-Funktion $y=e^x$ und die Exponentialfunktion zur Basis 10 $y=10^x$. Die dazugehörigen Logarithmusfunktionen heißen $y=log_e (x)=ln (x)$ und $y=log_{10} (x)=lg (x)$. ln ist der natürliche Logarithmus und lg der dekadische Logarithmus.
Die Logarithmusfunktion und die e-Funktion grafisch
In dem unteren Bild ist in schwarz die e-Funktion $f(x)=e^x$, in rot die Winkelhalbierende und in blau die Logarithmusfunktion $g(x)=ln(x)$ dargestellt.
Merke
Aufgrund ihrer Definition als Umkehrfunktion der Exponentialfunktionen haben alle Logarithmusfunktionen einen gemeinsamen Punkt und zwar $(1; 0)$. Dies ist die einzige Nullstelle der Logarithmusfunktionen.
Logarithmusgesetze
Von besonderer Bedeutung sind die Logarithmusgesetze. Sie entstehen ebenfalls als Konsequenz aus den Potenzgesetzen.
Merke
Wenn b,n, u und v positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ dann gelten folgende Gesetze:
- $\log_b (u v) = \log_b (u) + \log_b (v)$
- $\log_b (\frac{u}{v})= \log_b (u) - \log_b (v)$
- $\log_b (u^a) = a \log_b (u)$
- $\log_b (\sqrt[n]{u})= \frac{1}{n} \log_b (u) $
- Ist zusätzlich $u \neq 1$ gilt: $\log_u v = \frac{\log_b v}{\log_b u}$, b kann beliebig gewählt werden, z.B. b=e so dass $\log_u v = \frac{\ln v}{\ln u}$ gilt.
Das fünfte Gesetz ist besonders hilfreich, da es das Umrechnen zwischen verschieden Basen ermöglicht. Auch beim Eingeben von Logarithmen in den Taschenrechner wird dieses Gesetzt benötigt, da in den Taschenrechner nur ln oder lg eingegeben werden kann, aber keine beliebige Basis.
Merke
Die Ableitungfunktion von $f(x)=\log_b x$ ist $f^\prime = \frac{1}{x \mathrm{ln}b}$.
Ist $b=e$ also die Funktion eine natürliche Logarithmusfunktion $f(x)=e^x$, so ist $f^\prime(x) = \frac{1}{x}$
Merke
Logarithmusfunktionen haben keine Extrem- oder Wendestellen.
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