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Die perfekte Abiturvorbereitung
in Mathematik

Im Kurspaket Mathematik erwarten Dich:
  • 168 Lernvideos
  • 416 Lerntexte
  • 592 interaktive Übungen
  • original Abituraufgaben

Logarithmusfunktionen

Funktionsklassen

Eine Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion einer Exponentialfunktion. Umkehrfunktionen erhält man, indem die x-und die y-Werte vertauscht werden bzw. der Graf der Funktion an der Winkelhalbierenden gespiegelt wird.

Exponentialfunktionen haben die Form: $y=b^x$.

Werden jetzt x und y vertauscht und nach x umgestellt

entsteht die Logarithmusfunktion y=log_b (x) (sprich Logarithmus von x zur Basis b)

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Spezielle Exponentialfunktionen sind die e-Funktion $y=e^x$ und die Exponentialfunktion zur Basis 10 $y=10^x$. Die dazugehörigen Logarithmusfunktionen heißen $y=log_e (x)=ln (x)$ und $y=log_{10} (x)=lg (x)$.  ln ist der natürliche Logarithmus und lg der dekadische Logarithmus.

Die Logarithmusfunktion und die e-Funktion grafisch

In dem unteren Bild ist in schwarz die e-Funktion $f(x)=e^x$, in rot die Winkelhalbierende und in blau die Logarithmusfunktion $g(x)=ln(x)$ dargestellt.

Logarithmus
Logarithmus- und e-Funktion

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Aufgrund ihrer Definition als Umkehrfunktion der Exponentialfunktionen haben alle Logarithmusfunktionen einen gemeinsamen Punkt und zwar $(1; 0)$. Dies ist die einzige Nullstelle der Logarithmusfunktionen.

Logarithmusgesetze

Von besonderer Bedeutung sind die Logarithmusgesetze. Sie entstehen ebenfalls als Konsequenz aus den Potenzgesetzen.

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Wenn b,n, u und v positive reelle Zahlen sind und  $b \neq 1$ dann gelten folgende Gesetze:

  1. $\log_b (u v) = \log_b (u) + \log_b (v)$
  2. $\log_b (\frac{u}{v})= \log_b (u) - \log_b (v)$
  3. $\log_b (u^a) = a \log_b (u)$
  4. $\log_b (\sqrt[n]{u})= \frac{1}{n} \log_b (u) $
  5. Ist zusätzlich $u \neq 1$ gilt: $\log_u v = \frac{\log_b v}{\log_b u}$, b kann beliebig gewählt werden, z.B. b=e so dass $\log_u v = \frac{\ln v}{\ln u}$ gilt.

Das fünfte Gesetz ist besonders hilfreich, da es das Umrechnen zwischen verschieden Basen ermöglicht. Auch beim Eingeben von Logarithmen in den Taschenrechner wird dieses Gesetzt benötigt, da in den Taschenrechner nur ln oder lg eingegeben werden kann, aber keine beliebige Basis.

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Die Ableitungfunktion von $f(x)=\log_b x$ ist $f^\prime = \frac{1}{x \mathrm{ln}b}$.

Ist $b=e$ also die Funktion eine natürliche Logarithmusfunktion $f(x)=e^x$, so ist $f^\prime(x) = \frac{1}{x}$

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Logarithmusfunktionen haben keine Extrem- oder Wendestellen.

Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Einleitung zur weiterführenden Analysis
    • Einleitung zu Einleitung zur weiterführenden Analysis
  • Funktionsklassen
    • Einleitung zu Funktionsklassen
    • Logarithmusfunktionen
    • gebrochenrationale Funktionen
      • Einleitung zu gebrochenrationale Funktionen
      • senkrechte Asymptoten - Definitionsbereich
      • waagerechte und schiefe Asymptoten
  • Differentialrechnung
    • Einleitung zu Differentialrechnung
    • Tangenten- und Normalengleichungen
    • Extremwertaufgaben (Optimierung)
    • Bestimmen von Funktionsgleichungen
      • Einleitung zu Bestimmen von Funktionsgleichungen
      • Regression und Interplolation
      • Trassierung
        • Einleitung zu Trassierung
        • Begriffe der Trassierung
        • Vorgehen bei der Trassierung
        • Beispiel einer Trassierung
      • Steckbriefaufgaben
        • Einleitung zu Steckbriefaufgaben
        • Vorgehen bei Steckbriefaufgaben
        • 1. Beispiel einer Steckbriefaufgabe
        • 2. Beispiel einer Steckbriefaufgabe
  • Integralrechnung
    • Einleitung zu Integralrechnung
    • partielle Integration
    • Integration durch Substitution
    • Rotationsvolumen
  • Wachstums- und Zerfallsprozesse
    • Einleitung zu Wachstums- und Zerfallsprozesse
    • lineares Wachstum
    • exponentielles Wachstum
    • beschränktes Wachstum
      • Einleitung zu beschränktes Wachstum
      • Abituraufgabe zum Newtonschen Abkühlungsgesetz
        • Einleitung zu Abituraufgabe zum Newtonschen Abkühlungsgesetz
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: y-Wert berechnen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: x-Wert bestimmen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Ungleichung lösen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Abkühlungsfaktor berechnen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Ableitung einer e-Funktion
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Gleichung beweisen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Ableitung der Abkühlungsfunktion
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Integral berechnen
    • Logistisches Wachstum
      • Einleitung zu Logistisches Wachstum
      • Aufgabe zum logistischen Wachstum
      • Logistisches Wachstum - Differentialgleichung
      • Logistisches Wachstum - Wachstum Fichtenumfang berechnen
      • Logistisches Wachstum - Approximation
  • Aufgaben ohne Hilfsmittel im Abitur
    • Einleitung zu Aufgaben ohne Hilfsmittel im Abitur
    • Anzahl von Wendepunkten bestimmen
  • 43
  • 2
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  • 43