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Eine LogarithmusFunktion ist die Umkehrfunktion einer Exponentialfunktion. Umkehrfunktionen erhält man, indem die x-und die y-Werte vertauscht werden bzw. der Graf der Funktion an der Winkelhalbierenden gespiegelt wird.

Exponentialfunktionen haben die Form: $y=b^x$.

Werden jetzt x und y vertauscht und nach x umgestellt

entsteht die Logarithmusfunktion y=log_b (x) (sprich Logarithmus von x zur Basis b)

Merke

Spezielle Exponentialfunktionen sind die e-Funktion $y=e^x$ und die Exponentialfunktion zur Basis 10 $y=10^x$. Die dazugehörigen Logarithmusfunktionen heißen $y=log_e (x)=ln (x)$ und $y=log_{10} (x)=lg (x)$.  ln ist der natürliche Logarithmus und lg der dekadische Logarithmus.

Die Logarithmusfunktion und die e-Funktion grafisch

In dem unteren Bild ist in schwarz die e-Funktion $f(x)=e^x$, in rot die Winkelhalbierende und in blau die Logarithmusfunktion $g(x)=ln(x)$ dargestellt.

Logarithmus
Logarithmus- und e-Funktion

Merke

Aufgrund ihrer Definition als Umkehrfunktion der Exponentialfunktionen haben alle Logarithmusfunktionen einen gemeinsamen Punkt und zwar $(1; 0)$. Dies ist die einzige Nullstelle der Logarithmusfunktionen.

Logarithmusgesetze

Von besonderer Bedeutung sind die Logarithmusgesetze. Sie entstehen ebenfalls als Konsequenz aus den Potenzgesetzen.

Merke

Wenn b,n, u und v positive reelle Zahlen sind und  $b \neq 1$ dann gelten folgende Gesetze:

  1. $\log_b (u v) = \log_b (u) + \log_b (v)$
  2. $\log_b (\frac{u}{v})= \log_b (u) - \log_b (v)$
  3. $\log_b (u^a) = a \log_b (u)$
  4. $\log_b (\sqrt[n]{u})= \frac{1}{n} \log_b (u) $
  5. Ist zusätzlich $u \neq 1$ gilt: $\log_u v = \frac{\log_b v}{\log_b u}$, b kann beliebig gewählt werden, z.B. b=e so dass $\log_u v = \frac{\ln v}{\ln u}$ gilt.

Das fünfte Gesetz ist besonders hilfreich, da es das Umrechnen zwischen verschieden Basen ermöglicht. Auch beim Eingeben von Logarithmen in den Taschenrechner wird dieses Gesetzt benötigt, da in den Taschenrechner nur ln oder lg eingegeben werden kann, aber keine beliebige Basis.

Merke

Die Ableitungfunktion von $f(x)=\log_b x$ ist $f^\prime = \frac{1}{x \mathrm{ln}b}$.

Ist $b=e$ also die Funktion eine natürliche Logarithmusfunktion $f(x)=e^x$, so ist $f^\prime(x) = \frac{1}{x}$

Merke

Logarithmusfunktionen haben keine Extrem- oder Wendestellen.

Multiple-Choice
Was ist die Ableitung von $f(x)=\ln x$
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Bild von Autor Dr. Judith Frauendorf

Autor: Dr. Judith Frauendorf

Dieses Dokument Logarithmusfunktionen ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2).

Dr. Judith Frauendorf verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
Vorstellung des Online-Kurses Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)
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Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)

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