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Quadratische Funktionen - Die Normalform umformen

Funktionen
Quadratische Funktionen

Quadratische Funktionen können in verschiedenen Formen angegeben werden, zum Beispiel als Normalform und als Scheitelpunktform einer Parabel. Der Vorteil bei der Normalform ist, dass du den y-Achsenabschnitt direkt ablesen kannst. Der Vorteil bei der Scheitelpunktform ist, dass du den Scheitelpunkt direkt ablesen kannst. Wir können sowohl die Scheitelpunktform in die Normalform umformen, als auch die Normalform in die Scheitelpunktform.

Die Normalform - Definition

Die Normalform wird so angegeben:

Merke

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$f(x) = {x^2} + {b} \cdot {x} +c$

Es gibt neben der Normalform in Mathe auch die sogenannte Allgemeine Form. Diese hat vor dem ${x^2}$ einen Koeffizienten. Diese Form wird daher wie folgt angegeben:

$f(x) = {a} \cdot {x^2} + {b} \cdot {x} +c$

Du kannst sowohl aus der Normalform als auch aus der Allgemeinen Form direkt den y-Achsenabschnitt ablesen. Dieser entspricht dem Wert, bei dem kein $x$ dabei steht, hier also $c$. Diese Zahl $c$ steht meist am Ende der Funktion.

Normalform in Scheitelpunktform umformen

Du kannst die Normalform in die Scheitelpunktform umformen. Dies musst du zum Beispiel machen, wenn du den Scheitelpunkt herausfinden willst, aber die Normalform gegeben ist.

$f(x) = {x^2} + {b} \cdot {x} +c     \rightarrow     f(x) = (x−d)^2+e$

Hier ist eine Anleitung, wie du vorgehen kannst:

Methode

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Vorgehensweise

1) Bei der Normalform beginnst du mit der Quadratischen Ergänzung:
Die Zahl, die vor dem $x$ steht, hier also $b$, wird durch 2 geteilt und das Ergebnis dann quadriert. Dieser Wert wird nun einmal dazu addiert und dann wieder abgezogen; so verändern wir, mathematisch betrachtet, nichts.

$f(x) = {x^2} + b \cdot {x} \textcolor{orange}{+( b:2)^2 - (b:2)^2} +c$

2) Negativen Wert mit dem letzten Wert verrechnen:
Der negative Wert wird nun mit dem letzten Wert, $c$, verrechnet, also zusammengefasst. 

$f(x) = \textcolor{green}{{x^2} + b \cdot {x} +( b:2)^2}\textcolor{blue}{- (b:2)^2 +c}$

3) Binomische Formel anwenden:
Der lange Term am Anfang (in grün) kann nun mithilfe der 1. Binomischen Formel vereinfacht werden. Wir erhalten:

$f(x) = \textcolor{green}{(x + (b:2))^2} \textcolor{blue}{+ c - (b:2)^2}$

Dies alles machst du, damit du am Ende die Scheitelpunktform erhältst und den Scheitelpunkt ablesen kannst. Die Scheitelpunktform sieht so aus: $f(x) = (x−d)^2+e$

Hier sind noch einmal die drei Binomischen Formeln auf einen Blick zusammengefasst.

Hinweis

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1. Binomische Formel:
$(a\textcolor{red}+b)^2 = a^2 \textcolor{red}+ 2·a·b + b^2$

2. Binomische Formel:
$(a\textcolor{magenta}-b)^2 = a^2 \textcolor{magenta}- 2·a·b + b^2$

3. Binomische Formel:
$(a+b)·(a-b) = a^2 - b^2$

Normalform in Scheitelpunktform umformen - Beispiel mit Lösungsweg

Beispiel

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Die Funktion $f(x) = {x^2} + {4} \cdot {x} -2$  ist gegeben und soll in die Scheitelpunktform umgeformt werden. Versuche erst selber, die Funktion in die Scheitelpunktform umzuformen!

Lösungsweg

1) Quadratische Ergänzung:
$f(x) = {x^2 + 4} \cdot {x} -2$
$f(x) = {x^2 + \textcolor{red}4} \cdot {x} + (\frac{\textcolor{red}4}{2})^2 - (\frac{\textcolor{red}4}{2})^2 -2$
$f(x) = {x^2 + 4} \cdot {x} + 4 - 4 -2$

2) Negativen Wert mit dem letzten Wert verrechnen:
$f(x) = {x^2 + 4} \cdot {x} + 4 - 4 -2$
$f(x) = ({x^2 + 4} \cdot {x} + 4) -6$

3) Binomische Formel anwenden:
$f(x) = ({x^2 + 4} \cdot {x} + 4) -6$
$f(x) = (x+ 2)^2 -6$

Somit lautet die Scheitelpunktform: $f(x) = (x+ 2)^2 -6$ und der Scheitelpunkt: $S(-2/-6)$

Diese Umformung wirkt anfangs meist recht kompliziert. Es sind aber eigentlich nur drei Schritte, die du dir merken musst. Nachdem du ein paar Aufgaben gerechnet hast, wird es dir leichter fallen. Übung macht den Meister/die Meisterin!

Scheitelpunktform in Normalform umformen

Du kannst die Scheitelpunktform in die Normalform umformen, zum Beispiel, um den y-Achsenabschnitt herauszufinden.

$ f(x)=(x−d)^2+e     \rightarrow     f(x)=x^2+{b}\cdot {x}+c$ 

Hier ist eine Anleitung, wie du vorgehen kannst: 

Methode

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1) Binomische Formel anwenden:
Zunächst musst du die Binomische Formel anwenden. Wenn in der Klammer ein Plus steht, musst du die 1. Binomische Formel anwenden und wenn in der Klammer ein Minus steht, so wie hier, musst du die 2. Binomische Formel anwenden.
$ f(x)=(x−d)^2+e$
$ f(x)=(x^2-2⋅x⋅d+d^2)+e$

2) Die letzten Werte zusammenrechnen:
Um den y-Achsenabschnitt herauszufinden, müssen die zwei letzten Werte, also die Zahlen ohne $x$, addiert werden. 
$ f(x)=x^2-2⋅x⋅d+d^2+e$
$ f(x)=x^2-2⋅x⋅d+(d^2+e)$

Jetzt haben wir unsere Scheitelpunktform in die Normalform gebracht. Wie du sicher schon gemerkt hast, ist das etwas einfacher als andersherum.

Im Video haben wir dir ja schon gezeigt, dass es neben der Normalform auch die Allgemeine Form gibt. Im Folgenden wollen wir dir ein Rechenbeispiel zeigen, wie du mit der Allgemeinen Form rechnen kannst.

Scheitelpunktform in Allgemeine Form umformen - Beispiel mit Lösungsweg

$ f(x)=3⋅(x−5)^2+4$
Versuche, diese Scheitelpunktform in die Allgemeine Form umzuformen. 

Vertiefung

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Lösungsweg

1) Binomische Formel anwenden:
$ f(x)=3⋅(x−5)^2+4$
$ f(x)=3⋅(x^2-2⋅x⋅5+5^2)+4$
$ f(x)=3⋅(x^2-10⋅x+25)+4$

2) Die Klammer auflösen:
$ f(x)=3⋅(x^2-10⋅x+25)+4$
$ f(x)=3⋅x^2-3·10⋅x⋅+3·25+4$

3) Die letzten Werte zusammenrechnen:
$ f(x)=3⋅x^2-3·10⋅x⋅+(3·25+4)$
$ f(x)=3⋅x^2-30⋅x+(75+4)$
$ f(x)=3⋅x^2-30⋅x+79$

Jetzt hast du die Vorgehensweise, wie du Funktionen umwandelst, kennengelernt und kannst diese in unseren Übungen noch einmal anwenden. Wir wünschen dir viel Spaß und Erfolg dabei!

Multiple-Choice

Welches ist die richtige Vorgehensweise, um von der Scheitelpunktform zu der Normalform zu kommen?

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Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.