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Quadratische Funktion - Erklärung und Übung

Funktionen
Quadratische Funktionen

Video: Quadratische Funktion - Erklärung und Übung

Du behandelst gerade in Mathe quadratische Funktionen? In diesem Lerntext geben wir dir einen Überblick über die möglichen Eigenschaften von quadratischen Funktionen, etwa der Streckung oder Stauchung, der Verschiebung, aber auch den Nullstellen, welche du später mit der pq-Formel errechnen kannst.

Quadratische Funktionen - 5 Fakten

Wir haben dir im Folgenden schonmal das Wichtigste über die Eigenschaften von quadratischen Funktionen aufgelistet:

Methode

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  1. Normalform: $f(x) = \textcolor{red}{a} \cdot {x^2} + {b} \cdot {x} +c$
  2. Die bekannteste quadratische Funktion ist die Normalparabel: $f(x) = x^2$.
  3. Du kannst am Streckungsfaktor $\textcolor{red}{a}$ der quadratischen Funktionsgleichung erkennen, ob die Funktion gestreckt oder gestaucht ist.
  4. Du erkennst an der Formel, ob die Funktions an der x-Achse oder y-Achse verschoben wurde.
  5. Die Nullstellen der quadratischen Funktionsgleichung kannst du mit Hilfe der p-q-Formel oder der Mitternachtsformel berechnen -> eine quadratsiche Funktion kann keine, eine oder zwei Nullstellen haben.

Im Folgenden erklären wir dir diese Informationen nun detaillierter und geben dir zur quadratischen Funktion Beispiele an die Hand.

Was ist eine quadratsiche Funktion? - Erklärung & Definition

Bei einer quadratischen Funktion wird allgemein die Variable zum Quadrat genommen. Die einfachste Form ist die Normalparabel, die die quadratische Funktionsgleichung $f(x) = x^2$ besitzt.

Quadratische Funktionen können sowohl in der Normalform als auch in der Scheitelpunktform angegeben sein:

Hinweis

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Normalform: $f(x) = \textcolor{red}{a} \cdot {x^2} + {b} \cdot {x} +c$

Scheitelpunktform: $f(x) = \textcolor{red}a\cdot(x−\textcolor{blue}d)^2+\textcolor{green}e$
Streckungsfaktor: $\textcolor{red}a$
Scheitelpunkt: S $(\textcolor{blue}d|\textcolor{green}e)$

Die beiden Formen kann man gegenseitig ineinander umformen. Um mehr darüber zu erfahren, schaue dir die Seite für die Umformungen von Normalform und Scheitelpunktform an.

Mit quadratischen Funktionen rechnen - Stauchung, Verschiebung und Nullstelle

Streckung und Stauchung

Sowohl bei der Scheitelpunktform, als auch bei der Normalform, ist der Streckungsfaktor das $a$, welches vor dem $x^2$ steht bzw. der Faktor von $x^2$ ist. Wir betrachten nur den Wert für $a$, ohne dessen Vorzeichen.

$\textcolor{red}a>1$ (a größer 1) $\rightarrow $ Funktion ist gestreckt

$0 < \textcolor{green}a<1$ (a liegt zwischen 0 und 1) $\rightarrow $ Funktion ist gestaucht

 

gestreckte_und_gestauchte_funktion
Abbildung: gestreckte und gestauchte Funktion

Wir sehen eine gestreckte und eine gestauchte quadratische Funktion. Die Parabel kann auch nach unten geöffnet sein, dann ist das Vorzeichen des Streckungsfaktors negativ.

Hinweis

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Möchtest du noch mehr über die Stauchung und die Streckung von Funktionen erfahren? In unserem Lerntext zum Thema Streckung und Stauchung einer Normalparabel findest du weitere Informationen.

Verschiebung 

Verschiebung in Richtung der y-Achse

nach $\textcolor{red}{oben}$ : $f(x) = x^2 \textcolor{red}{+ a} \rightarrow$ Verschiebung des Graphen um $a$ nach oben

nach $\textcolor{red}{unten} $ : $f(x) = x^2 \textcolor{red}{-b} \rightarrow$ Verschiebung des Graphen um $b$ nach unten

Verschiebung in Richtung der x-Achse

nach $\textcolor{red}{rechts} $ : $f(x) = (x \textcolor{red}{-c})^2 \rightarrow$ Verschiebung des Graphen um $c$ nach rechts

nach $\textcolor{red}{links} $ : $f(x) = (x \textcolor{red}{+d})^2 \rightarrow$ Verschiebung des Graphen um $d$ nach links

Nullstellen berechnen

Die Nullstellen einer quadratischen Funktion können mit der p-q-Formel oder mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) berechnet werden:

p-q-Formel

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p-q-Formel

$x_{1/2} = -\frac{\textcolor{red}{p}}{2}\pm \sqrt{(\frac{\textcolor{red}{p}}{2})^2-\textcolor{green}{q}}$

Bestimmung von p und von q:

$f(x) = (1\cdot) x^2+{\textcolor{red}{ p}} \cdot x +{\textcolor{green}{ q}} = 0$

Beispiel: Nullstellen mit der p-q-Formel berechnen

Beispiel

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$f(x) = x^2 + 4\cdot  x-16 = 0$

Wir können die Werte für $p$ und $q$ aus der Gleichung ablesen und danach einsetzen:

  • $ p= 4$ 
  • $ q= -16$


$x_{1/2} = -\frac{4}{2}\pm \sqrt{(\frac{4}{2})^2-(-16)}$
$x_{1/2} = -2\pm \sqrt{4 +16}$
$x_{1/2} = -2\pm \sqrt{20}$
$x_1 = -2+ \sqrt{20} \approx 2,47$
$x_2 = -2 - \sqrt{20} \approx -6,47 $

Die Nullstellen liegen bei $x_1=2,27$ und $x_2=-6,47$

Mitternachtsformel

Merke

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$x_{1,2} = \frac{\textcolor{green}{-b}~\pm~\sqrt{\textcolor{green}{b}^2~-~4~ \cdot~\textcolor{blue}{a} \cdot~\textcolor{brown}{c}}}{2~ \cdot~\textcolor{blue}{a}}$

Bestimmung von $\textcolor{blue}{a},\textcolor{green}{b}$ und $\textcolor{brown}{c}$:

$f(x) = \textcolor{blue}{a} \cdot x^2 + \textcolor{green}{b} \cdot x + \textcolor{brown}{c}$

Beispiel: Nullstellen mit der Mitternachtsformel berechnen:

Beispiel

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$f(x) = 0,25 x^2 - 0,6 x + 0,2= 0$

Wir können die a,b,c-Werte ablesen:
$\textcolor{blue}{a= 0,25}$
$\textcolor{green}{b= -0,6}$
$\textcolor{brown}{c= 0,2}$

Und müssen sie in die Formel einsetzen:
$x_{1,2} = \frac{\textcolor{green}{-b}~\pm~\sqrt{\textcolor{green}{b}^2~-~4~ \cdot~\textcolor{blue}{a} \cdot~\textcolor{brown}{c}}}{2~ \cdot~\textcolor{blue}{a}}$

$x_{1,2} = \frac{\textcolor{green}{-(-0,6)}~\pm~\sqrt{\textcolor{green}{-0,6}^2~-~4~ \cdot~\textcolor{blue}{0,25} \cdot~\textcolor{brown}{0,2}}}{2~ \cdot~\textcolor{blue}{0,25}}$

Dies müssen wir jetzt nur noch ausrechnen:

$x_{1,2} = \frac{0,6~\pm~\sqrt{(0,6)^2~-~4~ \cdot~0,25 \cdot~0,2}}{2~ \cdot~0,25}$

$x_{1,2} = \frac{0,6~\pm~\sqrt{0,36~-0,2}}{0,5}$

$x_{1,2} = \frac{0,6~\pm~\sqrt{0,16}}{0,5}$

$x_{1,2} = \frac{0,6~\pm0,4}{0,5}$

$x_{1} = \frac{0,6+0,4}{0,5}= \frac{1}{0,5}= 2$

$x_{2} = \frac{0,6-0,4}{0,5}= \frac{0,2}{0,5}=0,4$

Also sind die zwei Nullstellen $x_1=2$ und $x_2=0,4$.

Eine quadratische Funktion kann keine, eine oder zwei Nullstellen haben. Wenn der Tiefpunkt über der x-Achse liegt, hat die Funktion keine Nullstelle. Berührt die Funktion die x-Achse, so liegt nur eine Nullstelle vor.

Nun hast du einen Überblick über die quadratischen Funktionen bekommen. Überprüfe dein Wissen mit unseren Übungsaufgaben. Viel Erfolg dabei!

Lückentext
Was sind die Nullstellen der Funktion $f(x) = x^2+4x+3$?
Die Nullstellen der Funktion sind:
$x_1=$
$x_2=$
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte füllen Sie alle Lücken im Text aus. Möglicherweise sind mehrere Lösungen für eine Lücke möglich. In diesem Fall tragen Sie bitte nur eine Lösung ein.