Quadratische Funktion - Erklärung und Übung
Du behandelst gerade in Mathe quadratische Funktionen? In diesem Lerntext geben wir dir einen Überblick über die möglichen Eigenschaften von quadratischen Funktionen, etwa der Streckung oder Stauchung, der Verschiebung, aber auch den Nullstellen, welche du später mit der pq-Formel errechnen kannst.
Quadratische Funktionen - 5 Fakten
Wir haben dir im Folgenden schonmal das Wichtigste über die Eigenschaften von quadratischen Funktionen aufgelistet:
Methode
- Normalform: $f(x) = \textcolor{red}{a} \cdot {x^2} + {b} \cdot {x} +c$
- Die bekannteste quadratische Funktion ist die Normalparabel: $f(x) = x^2$.
- Du kannst am Streckungsfaktor $\textcolor{red}{a}$ der quadratischen Funktionsgleichung erkennen, ob die Funktion gestreckt oder gestaucht ist.
- Du erkennst an der Formel, ob die Funktions an der x-Achse oder y-Achse verschoben wurde.
- Die Nullstellen der quadratischen Funktionsgleichung kannst du mit Hilfe der p-q-Formel oder der Mitternachtsformel berechnen -> eine quadratsiche Funktion kann keine, eine oder zwei Nullstellen haben.
Im Folgenden erklären wir dir diese Informationen nun detaillierter und geben dir zur quadratischen Funktion Beispiele an die Hand.
Was ist eine quadratsiche Funktion? - Erklärung & Definition
Bei einer quadratischen Funktion wird allgemein die Variable zum Quadrat genommen. Die einfachste Form ist die Normalparabel, die die quadratische Funktionsgleichung $f(x) = x^2$ besitzt.
Quadratische Funktionen können sowohl in der Normalform als auch in der Scheitelpunktform angegeben sein:
Hinweis
Normalform: $f(x) = \textcolor{red}{a} \cdot {x^2} + {b} \cdot {x} +c$
Scheitelpunktform: $f(x) = \textcolor{red}a\cdot(x−\textcolor{blue}d)^2+\textcolor{green}e$
Streckungsfaktor: $\textcolor{red}a$
Scheitelpunkt: S $(\textcolor{blue}d|\textcolor{green}e)$
Die beiden Formen kann man gegenseitig ineinander umformen. Um mehr darüber zu erfahren, schaue dir die Seite für die Umformungen von Normalform und Scheitelpunktform an.
Mit quadratischen Funktionen rechnen - Stauchung, Verschiebung und Nullstelle
Streckung und Stauchung
Sowohl bei der Scheitelpunktform, als auch bei der Normalform, ist der Streckungsfaktor das $a$, welches vor dem $x^2$ steht bzw. der Faktor von $x^2$ ist. Wir betrachten nur den Wert für $a$, ohne dessen Vorzeichen.
$\textcolor{red}a>1$ (a größer 1) $\rightarrow $ Funktion ist gestreckt
$0 < \textcolor{green}a<1$ (a liegt zwischen 0 und 1) $\rightarrow $ Funktion ist gestaucht
Wir sehen eine gestreckte und eine gestauchte quadratische Funktion. Die Parabel kann auch nach unten geöffnet sein, dann ist das Vorzeichen des Streckungsfaktors negativ.
Hinweis
Möchtest du noch mehr über die Stauchung und die Streckung von Funktionen erfahren? In unserem Lerntext zum Thema Streckung und Stauchung einer Normalparabel findest du weitere Informationen.
Verschiebung
Verschiebung in Richtung der y-Achse
nach $\textcolor{red}{oben}$ : $f(x) = x^2 \textcolor{red}{+ a} \rightarrow$ Verschiebung des Graphen um $a$ nach oben
nach $\textcolor{red}{unten} $ : $f(x) = x^2 \textcolor{red}{-b} \rightarrow$ Verschiebung des Graphen um $b$ nach unten
Verschiebung in Richtung der x-Achse
nach $\textcolor{red}{rechts} $ : $f(x) = (x \textcolor{red}{-c})^2 \rightarrow$ Verschiebung des Graphen um $c$ nach rechts
nach $\textcolor{red}{links} $ : $f(x) = (x \textcolor{red}{+d})^2 \rightarrow$ Verschiebung des Graphen um $d$ nach links
Nullstellen berechnen
Die Nullstellen einer quadratischen Funktion können mit der p-q-Formel oder mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) berechnet werden:
p-q-Formel
Merke
p-q-Formel
$x_{1/2} = -\frac{\textcolor{red}{p}}{2}\pm \sqrt{(\frac{\textcolor{red}{p}}{2})^2-\textcolor{green}{q}}$
Bestimmung von p und von q:
$f(x) = (1\cdot) x^2+{\textcolor{red}{ p}} \cdot x +{\textcolor{green}{ q}} = 0$
Beispiel: Nullstellen mit der p-q-Formel berechnen
Beispiel
$f(x) = x^2 + 4\cdot x-16 = 0$
Wir können die Werte für $p$ und $q$ aus der Gleichung ablesen und danach einsetzen:
- $ p= 4$
- $ q= -16$
$x_{1/2} = -\frac{4}{2}\pm \sqrt{(\frac{4}{2})^2-(-16)}$
$x_{1/2} = -2\pm \sqrt{4 +16}$
$x_{1/2} = -2\pm \sqrt{20}$
$x_1 = -2+ \sqrt{20} \approx 2,47$
$x_2 = -2 - \sqrt{20} \approx -6,47 $
Die Nullstellen liegen bei $x_1=2,27$ und $x_2=-6,47$
Mitternachtsformel
Merke
$x_{1,2} = \frac{\textcolor{green}{-b}~\pm~\sqrt{\textcolor{green}{b}^2~-~4~ \cdot~\textcolor{blue}{a} \cdot~\textcolor{brown}{c}}}{2~ \cdot~\textcolor{blue}{a}}$
Bestimmung von $\textcolor{blue}{a},\textcolor{green}{b}$ und $\textcolor{brown}{c}$:
$f(x) = \textcolor{blue}{a} \cdot x^2 + \textcolor{green}{b} \cdot x + \textcolor{brown}{c}$
Beispiel: Nullstellen mit der Mitternachtsformel berechnen:
Beispiel
$f(x) = 0,25 x^2 - 0,6 x + 0,2= 0$
Wir können die a,b,c-Werte ablesen:
$\textcolor{blue}{a= 0,25}$
$\textcolor{green}{b= -0,6}$
$\textcolor{brown}{c= 0,2}$
Und müssen sie in die Formel einsetzen:
$x_{1,2} = \frac{\textcolor{green}{-b}~\pm~\sqrt{\textcolor{green}{b}^2~-~4~ \cdot~\textcolor{blue}{a} \cdot~\textcolor{brown}{c}}}{2~ \cdot~\textcolor{blue}{a}}$
$x_{1,2} = \frac{\textcolor{green}{-(-0,6)}~\pm~\sqrt{\textcolor{green}{-0,6}^2~-~4~ \cdot~\textcolor{blue}{0,25} \cdot~\textcolor{brown}{0,2}}}{2~ \cdot~\textcolor{blue}{0,25}}$
Dies müssen wir jetzt nur noch ausrechnen:
$x_{1,2} = \frac{0,6~\pm~\sqrt{(0,6)^2~-~4~ \cdot~0,25 \cdot~0,2}}{2~ \cdot~0,25}$
$x_{1,2} = \frac{0,6~\pm~\sqrt{0,36~-0,2}}{0,5}$
$x_{1,2} = \frac{0,6~\pm~\sqrt{0,16}}{0,5}$
$x_{1,2} = \frac{0,6~\pm0,4}{0,5}$
$x_{1} = \frac{0,6+0,4}{0,5}= \frac{1}{0,5}= 2$
$x_{2} = \frac{0,6-0,4}{0,5}= \frac{0,2}{0,5}=0,4$
Also sind die zwei Nullstellen $x_1=2$ und $x_2=0,4$.
Eine quadratische Funktion kann keine, eine oder zwei Nullstellen haben. Wenn der Tiefpunkt über der x-Achse liegt, hat die Funktion keine Nullstelle. Berührt die Funktion die x-Achse, so liegt nur eine Nullstelle vor.
Nun hast du einen Überblick über die quadratischen Funktionen bekommen. Überprüfe dein Wissen mit unseren Übungsaufgaben. Viel Erfolg dabei!
Weitere interessante Inhalte zum Thema
-
Quadratische Funktion durch Ausklammern lösen
Vielleicht ist für Sie auch das Thema Quadratische Funktion durch Ausklammern lösen (Gleichungen lösen) aus unserem Online-Kurs Vorkenntnisse zur Analysis interessant.
-
Quadratische Funktionen mit pq-Formel und Mitternachtsformel lösen
Vielleicht ist für Sie auch das Thema Quadratische Funktionen mit pq-Formel und Mitternachtsformel lösen (Gleichungen lösen) aus unserem Online-Kurs Vorkenntnisse zur Analysis interessant.
