Quadratisch Funktion - Die Scheitelpunktform umformen
Quadratische Funktionen können in verschiedenen Formen angegeben werden, unter anderem in der allgemeinen Form und in der Scheitelpunktform. Der Vorteil bei der Scheitelpunktform besteht darin, dass der Scheitelpunkt direkt aus der Form abgelesen werden kann. Wir können die Scheitelpunktform in die allgemeine Form umformen und umgekehrt.
Die Scheitelpunktform - Definition
Eine quadratische Funktion in der Scheitelpunktform sieht allgemein so aus:
Merke
$f(x) = \textcolor{red}a\cdot(x−\textcolor{blue}d)^2+\textcolor{green}e$
Streckfaktor: $\textcolor{red}a$
Scheitelpunkt: S $(\textcolor{blue}d|\textcolor{green}e)$
Du kannst aus der Form direkt den Scheitelpunkt ablesen. Das $a$ steht für den Streckfaktor.
Hinweis
In euren Mathebüchern wird die Scheitelpunktform manchmal auch Scheitelform genannt. Die beiden Wörter bedeuten das Gleiche. Lass dich davon also nicht irritieren.
Scheitelpunktform in Allgemeine Form umformen
Du kannst die Scheitelpunktform in die allgemeine Form umformen. Dies musst du z. B. machen, wenn du den y-Achsenabschnitt herausfinden willst, aber die Scheitelpunktform gegeben hast.
$ f(x)=a⋅(x−d)^2+e \rightarrow f(x)=a⋅x^2+b⋅x+c$
Hier ist eine Anleitung, wie du vorgehen kannst:
Methode
1) Binomische Formel anwenden
Zunächst muss die quadrierte Klammer aufgelöst werden. Um diese Klammer aufzulösen, musst du die 1. oder 2. Binomische Formel anwenden. (Hier verwendest du die 2. Binomische Formel, da in der Klammer ein Minus steht.)
$ f(x)=a⋅(x−d)^2+e$
$ f(x)=a⋅(x^2-2⋅x⋅d+d^2)+e$
2) Die Klammer auflösen
Dies machen wir, indem wir den Faktor $a$, der vor der Klammer steht, mit allen Werten in der Klammer multiplizieren.
$ f(x)=a⋅(x^2-2⋅x⋅d+d^2)+e$
$ f(x)=a⋅x^2-a·2⋅x⋅d+a·d^2+e$
3) Die letzten Werte addieren
Um den y-Achsenabschnitt herauszufinden, müssen die beiden letzten Werte, also die Zahlen ohne $x$, nun noch addiert werden.
$ f(x)=a⋅x^2-a·2⋅x⋅d+a·d^2+e$
$ f(x)=a⋅x^2-a·2⋅x⋅d+(a·d^2+e)$
Hier sind noch einmal die 3 Binomischen Formeln auf einen Blick zusammengefasst:
Hinweis
1. Binomische Formel
$(a\textcolor{red}+b)^2 = a^2 \textcolor{red}+ 2·a·b + b^2$
2. Binomische Formel
$(a\textcolor{magenta}-b)^2 = a^2 \textcolor{magenta}- 2·a·b + b^2$
3. Binomische Formel
$(a+b)·(a-b) = a^2 - b^2$
Für die Umformungen sind nur die 1. und 2. Formel wichtig.
Scheitelpunktform in Allgemeine Form umformen - Beispiel mit Lösungsweg
Beispiel
1) Binomische Formel ausrechnen
$ f(x)=5⋅(x−2)^2+1$
$ f(x)=5⋅(x^2-2⋅x⋅2+2^2)+1$
$ f(x)=5⋅(x^2-4⋅x+4)+1$
2) Die Klammer auflösen
$ f(x)=5⋅(x^2-4⋅x+4)+1$
$ f(x)=5⋅x^2-5·4⋅x⋅+5·4+1$
3) Die letzten Werte addieren
$ f(x)=5⋅x^2-5·4⋅x⋅+(5·4+1)$
$ f(x)=5⋅x^2-20⋅x+(20+1)$
$ f(x)=5⋅x^2-20⋅x+21$
Nun haben wir die Scheitelpunktform in die allgemeine Form überführt. Dies ist etwas leichter als umgekehrt.
Allgemeinen Form in Scheitelpunktform umformen
Du kannst auch die allgemeine Form in die Scheitelpunktform überführen. Dies musst du z. B. machen, wenn du den Scheitelpunkt herausfinden willst, aber die allgemeine Form gegeben hast.
$f(x) = {a} \cdot {x^2} + {b} \cdot {x} +c \rightarrow f(x) = a\cdot(x−d)^2+e$
Hier ist eine Anleitung, wie du vorgehen kannst:
Methode
1) $x^2$ und $x$ zusammen einklammern
Die beiden Terme mit einem $x$, also ${a} \cdot {x^2}$ und ${b} \cdot{x}$, müssen zusammen in eine Klammer. Dann wird der Wert vor dem $x^2$, also $a$, ausgeklammert.
$f(x) = {a} \cdot {x^2} + {b} \cdot {x} +c$ $f(x) = ({a} \cdot {x^2} + {b} \cdot {x}) +c$
$f(x) = {a} \cdot ({x^2} + \frac{b}{a} \cdot {x}) +c$
2) Quadratische Ergänzung
Der Faktor vor dem x , also $\frac{b}{a}$, wird durch 2 geteilt und dann quadriert. Dieser Wert wird nun einmal dazu addiert und dann wieder abgezogen. An der Formel ändert sich somit nichts.
$f(x) = {a} \cdot ({x^2} + \frac{b}{a} \cdot {x} + (\frac{b}{a}/2)^2 - (\frac{b}{a}/2)^2) +c$
3) Negativen Wert mit dem letzten Wert verrechnen
Nun wird $a$ mit dem negativen Wert $(- (\frac{b}{a}/2)^2)$ multipliziert; dieser Ausdruck steht somit nicht mehr in der Klammer. Danach wird ${a} \cdot(- (\frac{b}{a}/2)^2)$ mit dem Wert, der nicht in der Klammer steht, $c$, verrechnet.
$f(x) = {a} \cdot ({x^2} + \frac{b}{a} \cdot {x} + (\frac{b}{a}/2)^2) +c - a\cdot (\frac{b}{a}/2)^2$
4) Binomische Formel "zurückrechnen"
Nun musst du den Term, der in der Klammer steht, zurückrechnen, d. h. die passende binomische Formel finden. Dies ist ganz einfach. Wir teilen den Wert vor dem x durch 2 $\rightarrow \frac{b}{a}/2$ und nehmen ihn mit dem x zusammen hoch 2.
$f(x) = {a} \cdot (x + (\frac{b}{a}/2))^2 + c - a\cdot (\frac{b}{a}/2)^2$
Dies alles machst du, damit du am Ende das x und eine Zahl gemeinsam quadrieren kannst. Denn, wie du schon weißt, sieht die Scheitelpunktform so aus: $f(x) = a\cdot(x−d)^2+e$
Allgemeinen Form in Scheitelpunktform umformen - Beispiel mit Lösungsweg
Die Funktion $f(x) = {5} \cdot {x^2} + {15} \cdot {x} +2$ ist gegeben und soll in die Scheitelpunktform umgeformt werden. Versuche die Funktion selbstständig umzuformen und lese dann den Scheitelpunkt ab.
Vertiefung
Lösungsweg
1) $x^2$ und $x$ zusammen einklammern
$f(x) = {5} \cdot {x^2} + {15} \cdot {x} +2$ $f(x) = ({5} \cdot {x^2} + {15} \cdot {x}) +2$
$f(x) = {5} \cdot ({x^2 + 3} \cdot {x}) +2$
2) Quadratische Ergänzung
$f(x) = {5} \cdot ({x^2 + 3} \cdot {x}) +2$
$f(x) = {5} \cdot ({x^2 + \textcolor{red}3} \cdot {x} + (\frac{\textcolor{red}3}{2})^2 - (\frac{\textcolor{red}3}{2})^2) +2$
$f(x) = {5} \cdot ({x^2 + 3} \cdot {x} + 2,25 - 2,25) +2$
3) Negativen Wert mit dem letzten Wert verrechnen
$f(x) = {5} \cdot ({x^2 + 3} \cdot {x} + 2,25 - 2,25) +2$
$f(x) = {5} \cdot ({x^2 + 3} \cdot {x} + 2,25) + 2 - 5\cdot2,25$
$f(x) = {5} \cdot ({x^2 + 3} \cdot {x} + 2,25) + 2 - 11,25$
$f(x) = {5} \cdot ({x^2 + 3} \cdot {x} + 2,25) - 9,25$
4) Binomische Formel "zurückrechnen"
$f(x) = {5} \cdot ({x^2 + 3} \cdot {x} + 2,25) - 9,25$
$f(x) = {5} \cdot (x+ 1,5)^2 -9,25$
Somit lautet unsere Scheitelpunktform: $f(x) = {5} \cdot (x+ 1,5)^2 -9,25$.
Den Scheitelpunkt können wir nun ablesen.
$f(x) = \textcolor{red}a\cdot(x−\textcolor{blue}d)^2+\textcolor{green}e$
Scheitelpunkt: S $(\textcolor{blue}d/\textcolor{green}e)$
$f(x) = \textcolor{red}5\cdot(x−(\textcolor{blue}{-1,5})^2+\textcolor{green}{-9,25}$
S $(\textcolor{blue}{-1,5}/\textcolor{green}{-9,25})$
Dies sieht anfangs sehr kompliziert aus. Aber es sind eigentlich nur 4 Schritte, die du machen musst. Wenn du das ein paar Mal gemacht hast, wird es dir leichter fallen. Schaue dir zur Übung die Übungsaufgaben an. Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!
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