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Symmetrie

Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1

Bei der Betrachtung der Symmetrie unterscheiden wir zwei Arten, die Symmetrie zur y-Achse, kurz Achsensymmetrie, und die Drehsymmetrie zum Ursprung (0/0) mit dem Drehwinkel 180°, kurz Punktsymmetrie.

Minimum für die Funktion f(x)=x2
Achsensymmetrie
Punktsymmetrie
Punktsymmetrie

Achsensymmetrie zur y-Achse

Achsensymmetrie bedeutet, dass der Graph spiegelsymmetrisch bzw. achsensymmetrisch zur y-Achse ist.
Um die Achsensymmetrie bei einer Funktion zu überprüfen muss festgestellt werden ob:
f(-x)=f(x).
(Sie wissen nicht wie man auf diese Bedingung kommt, dann schauen Sie sich das Video an)

Bei ganzrationalen Funktionen, kann die Symmetrie auch über die Betrachtung der Exponenten erfolgen:

Merke

Hier klicken zum AusklappenSind die Exponenten nur gerade ist die Funktion achsensymmetrisch. Eine Konstante c, d.h. eine Zahl c z.B. 6, hat den Exponenten 0 da c=c$x^0$ ist. ($x^0$=1,Potenzregel)

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappenf(x)=$x^4$+3x²+5
umgeschrieben: f(x)=$x^4$+3x²+5$x^0$
Die Exponenten der Funktion lauten damit: 4,2,0.
Diese Funktion ist achsensymmetrisch, da alle Exponenten gerade sind.

Achsensymmetrie zu einer beliebigen Achse

Funktionen können nicht nur zur y-Achse (x=0) sondern zu jeder beliebigen Achse (senkrechte Linie, x=x0) symmetrisch sein.
Jede Funktion, für die gilt f(-x + x0) = f(x + x0) ist symmetrisch zu einer Achse x = x0.

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappenf(x)=(x+3)²-4=x²+6x+5
Anhand der Scheitelpunktform erkennt man die Achse mit x=-3.
f(-x-3)=(-x-3+3)²-4=x²-4
f(x-3)=(x-3+3)²-4=x²-4
x²-4=x²-4 -> Die Funktion ist achsensymmetrisch zu x=-3.

Punktsymmetrie

Punktsymmetrie bedeutet, dass der Graph punktsymmetrisch bzw. drehsymmetrisch (180°) zum Ursprung (0/0) ist .
Um die Punktsymmetrie bei einer Funktion zu überprüfen muss festgestellt werden ob:
f(-x)=-f(x).

Merke

Hier klicken zum AusklappenSind die Exponenten nur ungerade ist die Funktion punktsymmetrisch. Ein Summand mit x hat den Exponenten 1, da $x^1$=x ist.

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappenf(x)=$x^5$+2x³+5x
umgeschrieben: f(x)=$x^5$+2x³+5$x^1$
Die Exponenten der Funktion lauten damit: 5,3,1.
Diese Funktion ist punktsymmetrisch, da alle Exponenten ungerade sind.  

Merke

Hier klicken zum AusklappenKeine Symmetrie

Alle Funktionen mit geraden und ungeraden Exponenten sind unsymmetrisch bzw. nicht symmetrisch.

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappenf(x)=$x^4$+2x³+5x
umgeschrieben: f(x)=$x^4$+2x³+5$x^1$
Die Exponenten der Funktion lauten damit: 4,3,1.
Diese Funktion ist nicht symmetrisch, da gerade und ungerade Exponenten auftreten.  
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Einleitung Analysis I
    • Einleitung zu Einleitung Analysis I
  • Verständnis der Ableitung
    • Einleitung zu Verständnis der Ableitung
    • Was ist die Ableitung?
    • Die graphische Ableitung
      • Einleitung zu Die graphische Ableitung
      • Punkte mit waagerechter Tangente
        • Einleitung zu Punkte mit waagerechter Tangente
        • Extrempunkte graphisch
        • Sattelpunkte
      • Wendepunkte graphisch
        • Einleitung zu Wendepunkte graphisch
        • Rechts-Links-Wendepunkt graphisch ableiten
        • Links-Rechts-Wendepunkt graphisch ableiten
      • Vergleich der Wendepunkte
      • Graphen ableiten
  • Ableiten
    • Einleitung zu Ableiten
    • Ableitungsregeln
      • Einleitung zu Ableitungsregeln
      • Potenzregel
      • Faktorregel
      • Summenregel
      • Produktregel
      • Quotientenregel
      • Kettenregel
      • Komplexe Funktionen ableiten
      • Sinus, Cosinus, e-Funktion und Logarithmus ableiten
    • Kurvenscharen ableiten
    • Die Ableitung im Abitur - Ableitungen graphisch bestimmen
  • Grundaufgaben der Analysis
    • Einleitung zu Grundaufgaben der Analysis
    • y-Wert berechnen
    • x-Wert berechnen
    • Steigung berechnen bei gegebenen x-Wert
    • Punkt zu einer gegebenen Steigung berechnen
  • Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1
    • Einleitung zu Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1
    • Definitionsbereich
    • Symmetrie
    • Schnittpunkte mit den Achsen
      • Einleitung zu Schnittpunkte mit den Achsen
      • y-Achsenabschnitt
      • Nullstellen
      • Klassifizierung der Nullstellen
    • Extrempunkte
      • Einleitung zu Extrempunkte
      • Bedingungen für Extrempunkte
      • Berechnung der Extrempunkte
    • Wendepunkte
      • Einleitung zu Wendepunkte
      • Bedingungen für Wendepunkte
      • Berechnung von Wendepunkten
  • Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2
    • Einleitung zu Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2
    • Globalverhalten
    • Wertebereich
    • Monotonie
    • Graph
    • Funktionsuntersuchung einer quadratischen Funktion
    • Funktionsuntersuchung im Abitur
  • Einführung in die Integralrechnung
    • Einleitung zu Einführung in die Integralrechnung
    • Von der Summe zum Integral
    • Die Stammfunktion und das unbestimmte Integral
    • Integrationsregeln
      • Einleitung zu Integrationsregeln
      • Potenzregel der Integration
      • lineare Substitution
    • Der Hauptsatz der Integral- und Differenzialrechung
    • Das bestimmte Integral
  • Integralrechnung - graphisches Integrieren
    • Einleitung zu Integralrechnung - graphisches Integrieren
    • graphisches Integrieren
    • Flächenberechnung
      • Einleitung zu Flächenberechnung
      • Fläche im Intervall
      • Fläche zwischen Graph und x-Achse
      • Fläche zwischen zwei Graphen
    • Die Integralrechung im Abitur
  • Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen
    • Einleitung zu Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen
    • Besonderheiten von Kurvenscharen
      • Einleitung zu Besonderheiten von Kurvenscharen
      • Klassifizierung von Kurvenscharen
        • Einleitung zu Klassifizierung von Kurvenscharen
        • Kurvenschar Bruch
        • Kurvenschar Wurzel 1
        • Kurvenschar Wurzel 2
        • Kurvenschar Hochpunkt/Tiefpunkt
      • Ortslinien von Kurvenscharen
    • Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung
      • Einleitung zu Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung
      • kubische Funktionenschar
        • Einleitung zu kubische Funktionenschar
        • Definitionsbereich und Symmetrie kubische Schar
        • Schnittpunkte mit den Achsen kubische Schar
        • Extrempunkte kubische Schar
        • Wendepunkte kubische Schar
        • Globalverhalten, Wertebereich, Monotonie kubische Schar
        • Graph kubische Schar
        • Ortslinie der Extrempunkte
  • Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen
    • Einleitung zu Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen
    • Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen
      • Einleitung zu Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen
      • Ableitung der e-Funktion
      • Asymptoten
    • Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen
      • Einleitung zu Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen
      • Einfache e-Funktion
      • komplexe e-Funktion
        • Einleitung zu komplexe e-Funktion
        • Definitionsbereich und Symmetrie komplexe e-Funktion
        • Schnittpunkte mit den Achsen komplexe e-Funktion
        • Extrempunkte komplexe e-Funktion
        • Wendepunkte komplexe e-Funktion
        • Globalverhalten, Wertebereich, Monotonie komplexe e-Funktion
        • Graph komplexe e-Funktion
    • Beispiel einer Funktionsuntersuchung einer e-Schar
      • Einleitung zu Beispiel einer Funktionsuntersuchung einer e-Schar
      • Definitionsbereich, Symmetrie, Schnittpunkte mit den Achsen e-Schar
      • Extrempunkte der e-Schar
      • Wendepunkte der e-Schar
      • Globalverhalten, Wertebereich, Monotonie e-Funktionenschar
      • Graph komplexe e-Funktionenschar
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