Symmetrie
Bei der Betrachtung der Symmetrie unterscheiden wir zwei Arten, die Symmetrie zur y-Achse, kurz Achsensymmetrie, und die Drehsymmetrie zum Ursprung (0/0) mit dem Drehwinkel 180°, kurz Punktsymmetrie.
Achsensymmetrie zur y-Achse
Achsensymmetrie bedeutet, dass der Graph spiegelsymmetrisch bzw. achsensymmetrisch zur y-Achse ist.
Um die Achsensymmetrie bei einer Funktion zu überprüfen muss festgestellt werden ob:
f(-x)=f(x).
(Sie wissen nicht wie man auf diese Bedingung kommt, dann schauen Sie sich das Video an)
Bei ganzrationalen Funktionen, kann die Symmetrie auch über die Betrachtung der Exponenten erfolgen:
Merke
Beispiel
umgeschrieben: f(x)=$x^4$+3x²+5$x^0$
Die Exponenten der Funktion lauten damit: 4,2,0.
Diese Funktion ist achsensymmetrisch, da alle Exponenten gerade sind.
Achsensymmetrie zu einer beliebigen Achse
Funktionen können nicht nur zur y-Achse (x=0) sondern zu jeder beliebigen Achse (senkrechte Linie, x=x0) symmetrisch sein.
Jede Funktion, für die gilt f(-x + x0) = f(x + x0) ist symmetrisch zu einer Achse x = x0.
Beispiel
Anhand der Scheitelpunktform erkennt man die Achse mit x=-3.
f(-x-3)=(-x-3+3)²-4=x²-4
f(x-3)=(x-3+3)²-4=x²-4
x²-4=x²-4 -> Die Funktion ist achsensymmetrisch zu x=-3.
Punktsymmetrie
Punktsymmetrie bedeutet, dass der Graph punktsymmetrisch bzw. drehsymmetrisch (180°) zum Ursprung (0/0) ist .
Um die Punktsymmetrie bei einer Funktion zu überprüfen muss festgestellt werden ob:
f(-x)=-f(x).
Merke
Beispiel
umgeschrieben: f(x)=$x^5$+2x³+5$x^1$
Die Exponenten der Funktion lauten damit: 5,3,1.
Diese Funktion ist punktsymmetrisch, da alle Exponenten ungerade sind.
Merke
Alle Funktionen mit geraden und ungeraden Exponenten sind unsymmetrisch bzw. nicht symmetrisch.
Beispiel
umgeschrieben: f(x)=$x^4$+2x³+5$x^1$
Die Exponenten der Funktion lauten damit: 4,3,1.
Diese Funktion ist nicht symmetrisch, da gerade und ungerade Exponenten auftreten.
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