Viertes Logarithmusgesetz - Wurzeln im Logarithmus
In diesem Lerntext beschäftigen wir uns mit dem vierten Logarithmusgesetz.
Merke
4. Logarithmusgesetz
Eine Wurzel wird logarithmiert, indem der Kehrwert des Wurzelexponenten mit dem Logarithmus multipliziert wird.
$\log_{a}(\sqrt[y]{x}) = \frac{1}{y}\cdot \log_{a}(x)$
Das vierte Logarithmusgesetz - Beispiele
Beispiel
- $\log_{2}(\sqrt[3]{512}) = \frac{1}{3}\cdot \log_{2}(512) = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$
- $\log_{4}(\sqrt[5]{1024}) = \frac{1}{5}\cdot \log_{4}(1024) = \frac{1}{5} \cdot 5 = 1$
Herleitung des vierten Logarithmusgesetzes
Bevor wir uns mit Wurzeln im Logarithmus beschäftigen, sollten wir erst nocheinmal wiederholen, welche Beziehung zwischen einer Potenz und einer Wurzel besteht.
$ Potenz: a^n = x Wurzel: \sqrt[n]{x} = a$
Das Radizieren (=Wurzel ziehen) ist in gewisser Weise das Gegenteil des Potenzierens. Du hast aber noch einen anderen Zusammenhang kennengelernt:
Methode
Achtung: dein Vorwissen ist gefragt!
$ a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$
In den meisten Fällen ist der Term unter der Wurzel nicht potenziert, dass heißt $m = 1$. So ergibt sich für $\sqrt[3]{7}$ die Potenz $7^{\frac{1}{3}}$.
Diese Regel solltest du im Hinterkopf behalten, wenn wir uns dem folgenden Problem annehmen:
$\log_{a}(\sqrt[y]{x})$
Wir haben eben gelernt, wie wir eine Wurzel noch schreiben können: $\log_{a}(x^{\frac{1}{y}})$
Im letzten Schritt greifen wir auf das dritte Logarithmusgesetz zurück und ziehen die Potenz vor den Logarithmus:
$\log_{a}(x^{\frac{1}{y}}) = \frac{1}{y}\cdot \log_{a}(x)$
Merke
4. Logarithmusgesetz:
Eine Wurzel wird logarithmiert, indem der Kehrwert des Wurzelexponenten mit dem Logarithmus multipliziert wird.
$\log_{a}(\sqrt[y]{x}) = \frac{1}{y}\cdot \log_{a}(x)$
Es gibt noch weitere Rechengesetze für Logarithmen eines Produkts, eines Quotienten oder einer Potenz.
Wende nun dein Wissen über das vierte Logarithmusgesetz in den Übungsaufgaben an und teste dich. Viel Erfolg dabei!
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