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Viertes Logarithmusgesetz - Wurzeln im Logarithmus

Zahlenlehre und Rechengesetze
Logarithmen und Exponentialgleichungen

 

Video: Viertes Logarithmusgesetz - Wurzeln im Logarithmus

In diesem Lerntext beschäftigen wir uns mit dem vierten Logarithmusgesetz. 

Merke

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4. Logarithmusgesetz

Eine Wurzel wird logarithmiert, indem der Kehrwert des Wurzelexponenten mit dem Logarithmus multipliziert wird.

$\log_{a}(\sqrt[y]{x}) =  \frac{1}{y}\cdot \log_{a}(x)$

Das vierte Logarithmusgesetz - Beispiele

Beispiel

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  1. $\log_{2}(\sqrt[3]{512}) =  \frac{1}{3}\cdot \log_{2}(512) = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$
  2. $\log_{4}(\sqrt[5]{1024}) =  \frac{1}{5}\cdot \log_{4}(1024) = \frac{1}{5} \cdot 5 = 1$

Herleitung des vierten Logarithmusgesetzes

Bevor wir uns mit Wurzeln im Logarithmus beschäftigen, sollten wir erst nocheinmal wiederholen, welche Beziehung zwischen einer Potenz und einer Wurzel besteht.

$ Potenz: a^n = x            Wurzel: \sqrt[n]{x} = a$

Das Radizieren (=Wurzel ziehen) ist in gewisser Weise das Gegenteil des Potenzierens. Du hast aber noch einen anderen Zusammenhang kennengelernt:

Methode

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Achtung: dein Vorwissen ist gefragt!

$ a^{\frac{m}{n}}  = \sqrt[n]{a^m}$

In den meisten Fällen ist der Term unter der Wurzel nicht potenziert, dass heißt $m = 1$. So ergibt sich für $\sqrt[3]{7}$ die Potenz $7^{\frac{1}{3}}$.

Diese Regel solltest du im Hinterkopf behalten, wenn wir uns dem folgenden Problem annehmen:

$\log_{a}(\sqrt[y]{x})$

Wir haben eben gelernt, wie wir eine Wurzel noch schreiben können: $\log_{a}(x^{\frac{1}{y}})$

Im letzten Schritt greifen wir auf das dritte Logarithmusgesetz zurück und ziehen die Potenz vor den Logarithmus:

$\log_{a}(x^{\frac{1}{y}}) = \frac{1}{y}\cdot \log_{a}(x)$

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4. Logarithmusgesetz:

Eine Wurzel wird logarithmiert, indem der Kehrwert des Wurzelexponenten mit dem Logarithmus multipliziert wird.

$\log_{a}(\sqrt[y]{x}) =  \frac{1}{y}\cdot \log_{a}(x)$

Es gibt noch weitere Rechengesetze für Logarithmen eines Produkts, eines Quotienten oder einer Potenz.

Wende nun dein Wissen über das vierte Logarithmusgesetz in den Übungsaufgaben an und teste dich. Viel Erfolg dabei!

Multiple-Choice
Wie lässt sich dieser Logarithmus noch ausdrücken?

$\log_{3}(\sqrt[3]{96}) $
0/0
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Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.