Kurvenschar Wurzel 2
Beispiel
Klassifizierung der Nullstellen der Funktion f(x)=x²+tx+t=0
Nullstellen mit p-q-Formel berechnen
p=t q=t Bestimmen von p und q
$x_{1,2}$=-$\frac{t}{2} \pm \sqrt {(\frac{t}{2})^2-t)}$
$x_{1,2}$=-$\frac{t}{2}\pm \sqrt {\frac{t²}{4}-t}$
Die Nullstellen lassen sich jetzt nicht weiter zusammenfassen.
Auch bei diesen Nullstellen ist wieder eine Wurzel vorhanden, so dass du die Nullstellen nach ihrer Anzahl klassifizieren musst. Wie bei jeder Wurzel gibt es auch hier drei Lösungsmöglichkeiten in Abhängigkeit der Diskriminante D (Term unter der Wurzel):
Merke
- D = 0, das bedeutet es gibt eine Lösung
- D < 0, das bedeutet es gibt keine Lösung, da man aus negativen Zahlen keine Wurzel ziehen darf.
- D > 0, das bedeutet es gibt 2 Lösungen.
Die Wurzel in unserem Beispiel ist aber nicht so einfach. Um zu erkennen, wann die Diskriminante D = 0, D < 0 und D > 0 ist, stellst du die Diskriminante als Funktion dar. D.h. du lässt dir mit deinem Taschenrechner die Funktion D(t)=$\frac{t²}{4}-t$ zeichnen.
Methode
Eingabe in den Taschenrechner mit x und nicht mit t: f(x)=$\frac{x²}{4}-x$
Anhand dieser Funktion siehst du genau die Bereiche, in denen die Diskriminante D = 0, D < 0 und D > 0 ist. D ist der y-Wert und t der x-Wert.
Beispiel
für t =x= 0 und t=x = 4 ist D= y= 0
für 0 < t < 4 ist D < 0
für t < 0 und t > 4 ist D > 0
Daraus ergibt sich jetzt die Klassifizierung der Nullstellen:
für t = 0 und t = 4 gibt es eine Nullstelle bei x0=-$\frac{t}{2}$
für 0 < t < 4 gibt es keine Nullstelle
für t < 0 und t > 4 gibt es zwei Nullstellen bei $x_{1,2}$=-$\frac{t}{2}\pm \sqrt {\frac{t²}{4}-t}$
In dem Applet siehst du wieder die Veränderung der Nullstellen bei Veränderung von t.
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