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Kurvenschar Wurzel 2

Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen / Besonderheiten von Kurvenscharen / Klassifizierung von Kurvenscharen

Beispiel

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Klassifizierung der Nullstellen der Funktion f(x)=x²+tx+t=0

Nullstellen mit p-q-Formel berechnen
p=t   q=t         Bestimmen von p und q
$x_{1,2}$=-$\frac{t}{2} \pm \sqrt {(\frac{t}{2})^2-t)}$
$x_{1,2}$=-$\frac{t}{2}\pm \sqrt {\frac{t²}{4}-t}$

Die Nullstellen lassen sich jetzt nicht weiter zusammenfassen.

Auch bei diesen Nullstellen ist wieder eine Wurzel vorhanden, so dass du die Nullstellen nach ihrer Anzahl klassifizieren musst. Wie bei jeder Wurzel gibt es auch hier drei Lösungsmöglichkeiten in Abhängigkeit der Diskriminante D (Term unter der Wurzel):

Merke

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  1. D = 0, das bedeutet es gibt eine Lösung
  2. D < 0, das bedeutet es gibt keine Lösung, da man aus negativen Zahlen keine Wurzel ziehen darf.
  3. D > 0, das bedeutet es gibt 2 Lösungen.

Die Wurzel in unserem Beispiel ist aber nicht so einfach. Um zu erkennen, wann die Diskriminante D = 0, D < 0 und D > 0 ist, stellst du die Diskriminante als Funktion dar. D.h. du lässt dir mit deinem Taschenrechner die Funktion D(t)=$\frac{t²}{4}-t$ zeichnen.

Methode

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Eingabe in den Taschenrechner mit x und nicht mit t: f(x)=$\frac{x²}{4}-x$

Funktion der Diskriminante
Funktion der Diskriminante f(x)=$\frac{x²}{4}-x$

Anhand dieser Funktion siehst du genau die Bereiche, in denen die Diskriminante D = 0, D < 0 und D > 0 ist. D ist der y-Wert und t der x-Wert.

Beispiel

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für t =x= 0 und t=x = 4 ist D= y= 0
für 0 < t < 4 ist D < 0
für t < 0 und t > 4 ist D > 0

Daraus ergibt sich jetzt die Klassifizierung der Nullstellen:

für t = 0 und t = 4    gibt es eine Nullstelle bei x0=-$\frac{t}{2}$
für 0 < t < 4             gibt es keine Nullstelle
für t < 0 und t > 4     gibt es zwei Nullstellen bei $x_{1,2}$=-$\frac{t}{2}\pm \sqrt {\frac{t²}{4}-t}$

In dem Applet siehst du wieder die Veränderung der Nullstellen bei Veränderung von t.

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Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

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  • Einleitung Analysis I
    • Einleitung zu Einleitung Analysis I
  • Verständnis der Ableitung
    • Einleitung zu Verständnis der Ableitung
    • Was ist die Ableitung?
    • Die graphische Ableitung
      • Einleitung zu Die graphische Ableitung
      • Punkte mit waagerechter Tangente
        • Einleitung zu Punkte mit waagerechter Tangente
        • Extrempunkte graphisch
        • Sattelpunkte
      • Wendepunkte graphisch
        • Einleitung zu Wendepunkte graphisch
        • Rechts-Links-Wendepunkt graphisch ableiten
        • Links-Rechts-Wendepunkt graphisch ableiten
      • Vergleich der Wendepunkte
      • Graphen ableiten
  • Ableiten
    • Einleitung zu Ableiten
    • Ableitungsregeln
      • Einleitung zu Ableitungsregeln
      • Potenzregel
      • Faktorregel
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      • Produktregel
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      • Komplexe Funktionen ableiten
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    • Die Ableitung im Abitur - Ableitungen graphisch bestimmen
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    • Einleitung zu Grundaufgaben der Analysis
    • y-Wert berechnen
    • x-Wert berechnen
    • Steigung berechnen bei gegebenen x-Wert
    • Punkt zu einer gegebenen Steigung berechnen
  • Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1
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      • Einleitung zu Schnittpunkte mit den Achsen
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      • Einleitung zu Wendepunkte
      • Bedingungen für Wendepunkte
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