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Wie berechnet man die Diagonale von Vierecken/Quadraten?

Geometrie
Geometrische Grundkonstruktionen

Video: Wie berechnet man die Diagonale von Vierecken/Quadraten?

Eine Diagonale von einem Viereck verbindet zwei gegenüberliegende Punkte. In diesem Text erklären wir dir, wie die Länge einer Diagonale berechnet werden kann.

diagonale
Abbildung: Rechteck mit Diagonale

Eine Diagonale ist die Verbindungsstrecke zweier Punkte, die nicht miteinander verbunden sind.

Diagonalen berechnen - Formel

Merke

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$d=\sqrt{ a^2+b^2}$

Die Länge der Diagonale eines Rechtecks mit den Seitenlängen $a$ und $b$ wird berechnet, indem die beiden Längen zum Quadrat genommen addiert werden und dann daraus die Wurzel gezogen wird. Wie diese Formel zustande kommt, erklären wir jetzt:

Berechnung von Diagonalen - Herleitung der Formel

Die Formel kann ganz einfach mit dem Satz des Pythagoras hergeleitet werden:

satz_des_pythagoras
Abbildung: Benennung Satz des Pythagoras

$c^2 = a^2 +b^2$

Da bei einem Rechteck ein rechter Winkel vorliegt, ist die Diagonale die Hypotenuse und wir können die Formel umschreiben:

$d^2=a^2+b^2$

Nun lösen wir die Formel nach $d$ auf:

$d= \sqrt{a^2+b^2}$

Auf dieser Seite kannst du den Beweis des Satz des Pythagoras nochmal nachlesen.

Wie berechnet man die Diagonalenlänge? - Beispielaufgabe

Beispiel

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Das Rechteck $ABCD$ ist gegeben. Dabei sind die Seiten $a=3cm$ und $b=4cm$ bekannt. Berechne die Länge der Diagonale!

Wir setzen die Seitenlängen in die Formel ein:

$d=\sqrt{ a^2+b^2}$

$d= \sqrt{3cm^2 + 4cm^2}$

$d= \sqrt{9cm^2 + 16cm^2}$

$d= \sqrt{25cm^2}$

$d= 5cm$

Wie berechnet man die Seitenlänge mit der Diagonalen? - Beispielaufgabe

Beispiel

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Wir haben die Diagonalenlänge eines Quadrates gegeben und sollen die Seitenlänge des Quadrates ermitteln.

$d= 4cm, a=?$

Wir nehmen die Grundformel:

$d=\sqrt{ a^2+b^2}$

Da die beiden Seitenlängen $a$ und $b$ gleich lang sind, nennen wir $b$ auch $a$:

$d=\sqrt{ a^2+a^2} = \sqrt{ 2\cdot a^2}= \sqrt{2}\cdot a$

Nun stellen wir die Formel nach $a$ um, da dies gesucht ist:

$d =\sqrt{2}\cdot a~~~~~~~~~|:\sqrt{2}$

$\frac{d}{\sqrt{2}}= a$

Jetzt können wir die Länge der Diagonale einsetzen:

$a= \frac{4}{\sqrt{2}} \approx 2,83$

Die Seitenlänge des Quadrats beträgt ca. $2,83 cm$ lang.

Mit den Übungsaufgaben kannst du dein Wissen weiter vertiefen. Viel Erfolg dabei!

Video: Simon Wirth

Text: Chantal Rölle