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Abstände von Punkten

Abstand zweier Punkte P und Q voneinander

Der Abstand zweier Punkte voneinander entspricht dem Betrag ihres Verbindungsvektors $\overrightarrow{PQ}$.

Beispiel

Die Punkte P(2|3|1) und Q(4|4|3) haben den Abstand $d=\left|\overrightarrow{PQ}\right| = \left| \begin{pmatrix}2\\1\\2 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$ Längeneinheiten.

Abstand eines Punktes P von einer Geraden g

Hier benötigen wir eine kleine Hilfskonstruktion: Wir legen eine Ebene H durch den Punkt P, die zusätzlich senkrecht zur Geraden g ausgerichtet sein soll. Dies geht am einfachsten mit der Normalenform einer Ebene, dann wird der Richtungsvektor der Geraden zum Normalenvektor der Ebene H. Der Schnittpunkt S von Gerade und Ebene ist der Lotfußpunkt zum gegebenen Punkt P. Der Abstand von Gerade und Punkt entspricht dem Betrag des Verbindungsvektors $\overrightarrow{SP}$.

Abstand eines Punktes P von einer Ebene E

Wurde im letzten Kapitel ausführlich behandelt. Der Abstand ist mit Hilfe der Hesse’schen Normalenform leicht zu berechnen: Einfach die Koordinaten des Punktes P in die HNF der Ebene einsetzen.
Eine Alternative hierzu ist die Konstruktion einer Hilfsgeraden h, die senkrecht  zur Ebene E steht und durch den Punkt P geht. Wir suchen also einen Normalenvektor zu E und nehmen diesen als Richtungsvektor der Geraden. Als Stützvektor dient uns der Ortsvektor des Punktes P. Schnitt der Hilfsgeraden h und der Ebene E liefert den Lotfußpunkt S. Der Abstand des Punktes von der Ebene entspricht dem Betrag des Verbindungsvektors $\overrightarrow{SP}$.

Multiple-Choice
Welchen Abstand zueinander haben die Punkte A(0|1|8) und B(-4|3|4)?
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Vorstellung des Online-Kurses Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)
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Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

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  • Einleitung und Grundlagen
    • Einleitung zu Einleitung und Grundlagen
    • Koordinatensystem
    • Was sind Vektoren?
    • Begriff des Vektorraums
    • Vektorraum - Basis und Dimension
  • Rechnen mit Vektoren
    • Einleitung zu Rechnen mit Vektoren
    • Addition und Subtraktion von Vektoren
    • Vektor zwischen zwei Punkten
    • Betrag eines Vektors berechnen
    • Vielfache von Vektoren bilden
    • Linearkombination von Vektoren
    • Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren
  • Geraden
    • Einleitung zu Geraden
    • Aufstellen einer Geradengleichung
    • Eine Gerade - viele Gleichungen?
    • Lage von Geraden
    • Schnitte von Geraden
  • Weitere Rechenoperationen mit Vektoren
    • Einleitung zu Weitere Rechenoperationen mit Vektoren
    • Normierung eines Vektors
    • Skalarprodukt zweier Vektoren
    • Vektoren und Winkel
    • Vektorprodukt / Kreuzprodukt
  • Ebenen in der analytischen Geometrie
    • Einleitung zu Ebenen in der analytischen Geometrie
    • Aufstellen von Ebenen in Parameterform
    • Normalenform einer Ebene
    • Koordinatenform einer Ebene
    • Darstellung einer Ebene im Koordinatensystem
    • Ebenengleichungen umwandeln
    • Hessesche Normalenform
  • Lagebeziehungen und Abstände
    • Einleitung zu Lagebeziehungen und Abstände
    • Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen
    • Abstandsprobleme
      • Einleitung zu Abstandsprobleme
      • Abstände von Punkten
      • Abstände von Geraden
      • Abstände von Ebenen
  • Schnitte
    • Einleitung zu Schnitte
    • Schnitt Gerade-Gerade
    • Schnitt Ebene-Gerade
    • Schnitt Ebene-Ebene
  • Spiegelungen
    • Einleitung zu Spiegelungen
    • Spiegelung an einem Punkt
    • Spiegelung an einer Geraden
    • Spiegelung an einer Ebene
  • Lineare Gleichungssysteme
    • Einleitung zu Lineare Gleichungssysteme
    • Was ist ein Lineares Gleichungssystem (LGS)?
    • Lösen eines linearen Gleichungssystems
      • Einleitung zu Lösen eines linearen Gleichungssystems
      • Allgemeine Vorgehensweise zur Lösung eines linearen Gleichungssystems
      • Gauß-Verfahren
      • Lösungsmöglichkeiten
  • Matrizen
    • Einleitung zu Matrizen
    • Darstellung in Matrizenform
    • Besondere Matrizen
      • Einleitung zu Besondere Matrizen
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    • Einleitung zu Rechenregeln für Matrizen
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    • Einleitung zu Anwendungen von Matrizen
    • Verflechtungsmatrizen
      • Einleitung zu Verflechtungsmatrizen
      • Beschreibung Verflechtungsmatrix
      • Anwendungsbeispiel Verflechungsmatrix
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      • Einleitung zu Übergangsmatrizen
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