Abstände von Punkten
Abstand zweier Punkte P und Q voneinander
Der Abstand zweier Punkte voneinander entspricht dem Betrag ihres Verbindungsvektors $\overrightarrow{PQ}$.
Beispiel
Die Punkte P(2|3|1) und Q(4|4|3) haben den Abstand $d=\left|\overrightarrow{PQ}\right| = \left| \begin{pmatrix}2\\1\\2 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$ Längeneinheiten.
Abstand eines Punktes P von einer Geraden g
Hier benötigen wir eine kleine Hilfskonstruktion: Wir legen eine Ebene H durch den Punkt P, die zusätzlich senkrecht zur Geraden g ausgerichtet sein soll. Dies geht am einfachsten mit der Normalenform einer Ebene, dann wird der Richtungsvektor der Geraden zum Normalenvektor der Ebene H. Der Schnittpunkt S von Gerade und Ebene ist der Lotfußpunkt zum gegebenen Punkt P. Der Abstand von Gerade und Punkt entspricht dem Betrag des Verbindungsvektors $\overrightarrow{SP}$.
Abstand eines Punktes P von einer Ebene E
Wurde im letzten Kapitel ausführlich behandelt. Der Abstand ist mit Hilfe der Hesse’schen Normalenform leicht zu berechnen: Einfach die Koordinaten des Punktes P in die HNF der Ebene einsetzen.
Eine Alternative hierzu ist die Konstruktion einer Hilfsgeraden h, die senkrecht zur Ebene E steht und durch den Punkt P geht. Wir suchen also einen Normalenvektor zu E und nehmen diesen als Richtungsvektor der Geraden. Als Stützvektor dient uns der Ortsvektor des Punktes P. Schnitt der Hilfsgeraden h und der Ebene E liefert den Lotfußpunkt S. Der Abstand des Punktes von der Ebene entspricht dem Betrag des Verbindungsvektors $\overrightarrow{SP}$.
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